Valor absoluto ultramétrico

propiedad numérica de los cuerpos algebraicos

Un valor absoluto ultramétrico es una aplicación de un cuerpo K en el conjunto ℝ+ de los números reales positivos verificando las siguientes tres propiedades:[1]

  • (axioma de separación);
  • (homomorfismo de grupos multiplicativo de K* sobre ℝ+*)
  • (desigualdad ultramétrica)

cualesquiera que sean los elementos e de K.

Ejemplos

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Valor absoluto trivial

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El valor absoluto trivial de K asocia con 0 el valor 0 y el valor 1 con cualquier otro elemento de K.

Es el valor absoluto ultramétrico asociado con la valoración trivial en K.

Valor p-ádico absoluto

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Sea un número primo arbitrario  . Se puede escribir de forma única cualquier número racional   en la forma:

  donde   y donde   y   son primos entre sí y primos con respecto a  .

Entonces se define la aplicación asociando el valor   con un número racional  . Por ejemplo,

 

Esta aplicación es un valor absoluto ultramétrico en el cuerpo  , asociado con la valoración p ádica.

Vínculos con nociones relacionadas

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Propiedades

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  • Aquí   denota el elemento neutro para la multiplicación de K.

Enunciado: si  
entonces   para cualquier elemento   de K.[3]

Demostración
 . La ecuación   para el valor   tiene solo dos soluciones en  ,   y  . El axioma de separación asegura que  , por lo que se deduce que  .

Asimismo,  , de ahí que  . Como además el valor absoluto solo toma valores positivos, se tiene que  .

Finalmente,   y, por lo tanto,  .[1]

  • Para cualquier pareja (a, b) de elementos del cuerpo K:

''Enunciado:  [4]

Demostración
Como  , uno de los dos es estrictamente inferior al otro. Se supone (sin pérdida de generalidad) que  . Entonces, de la desigualdad ultramétrica,  . O   según una propiedad anterior. Entonces se tiene que  .

Como   es por hipótesis estrictamente menor que  , esta desigualdad solo se puede verificar si  .

Volviendo a aplicar la desigualdad ultramétrica, se tiene que  .

Al reunir estos dos resultados, resulta que  , lo que prueba que  .[1]

Referencias

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  1. a b c Aigner, Martin; Ziegler, Günter M.; Puech, Nicolas (2013 (3ª edición)). Springer, ed. Raisonnements divins (quelques démonstrations mathématiques particulièrement élégantes) (en francés). Paris/Berlin/Heidelberg etc. pp. 150-151 de 308. ISBN 978-2-8178-0399-9. 
  2. Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, chap. 6, § 6, n°|2, Valor absoluto ultramétrico en Google Libros
  3. Estas propiedades provienen del hecho de que este es un caso especial de valor absoluto en un cuerpo
  4. Esta afirmación es equivalente al hecho de que en el espacio métrico (K, d), cualquier triángulo es isósceles y de base menor o igual que los dos lados iguales. Es una propiedad general de los espacios ultramétricos, demostrado en el artículo Distancia ultramétrica

Véase también

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Enlaces externos

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