Usuario:Peymsl42/Taller
El algoritmo de Verlet es un procedimiento para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Es particularmente apropiado en los problemas en que la expresión de la segunda derivada solo es función de las variables, dependiente o independiente, sin participar la primera derivada. Y = Y(x,Y).
Este es el caso de numerosos problemas de la dinámica newtoniana, donde se emplea frecuentemente en astronomía y mecánica molecular.
En 1967, el matemático francés Loup Verlet presentó la primera versión de su modelo[1], denominada Integración de Verlet, caracterizada por su simplicidad sin pérdida de exactitud y estabilidad. Posteriormente, en 1985[2], se propuso una ligera corrección a la Integración de Verlet, conocida como algorítmo de Verlet con velocidad, que mejora la precisión y estabilidad de las soluciones.
Algorítmo de Verlet Integración
editarHaciendo el desarrollo en serie de Taylor para dos i
Yn+h = Yn + h * f'(xn, Yn) + h2/ 2 * f(xn, Yn) + h3/ 6 * f(xn, Yn) + h4/ 24 * f'(xn, Yn)..
Yn-h = Yn - h * f'(xn, Yn) + h2/ 2 * f(xn, Yn) - h3/ 6 * f(xn, Yn) + h4/ 24 * f'(xn, Yn)..
Sumando ambas ecuaciones, limitando la serie hasta el término de tercer grado y reagrupando obtiene la ley de recursión para las posiciones:y
Yn+h = 2 * Yn - Yn-h + h2 * f(xn, Yn) Ec. (1)
El error introducido es de cuarto grado, inferior a la mayoría de los algoritmos convencionales.
Como puede comprobarse en la EC (1) se obtienen la trayectoria sin intervenir la velocidad, lo que simplifica los cálculos. Caso de necesitarse conocer las velocidades, se obtienen directamente restando las dos ecuaciones generadoras:
f'n = Vn = ( Yn+h - Yn-h ) / 2 * h Ec. (2)
La Ec.(2) es característica de un método de resolución implícito (multipaso). Al comenzar la serie pasamos directamente a calcular el tercer término, para lo que necesitamos conocer el primero y el segundo. Los valores iniciales ( X0 ) son un dato del enunciado, pero el método de Verlet no permite su cálculo. Para obviar esta limitación, el segundo mvalor de la serie se calcula con ayuda de algún método implícito, por ejemplo el de Euler, y ya se tienen todos los términos necesarios para continuar la integración.
Esta discontinuidad puede ser origen de cierta inestabilidad, aunque, si el valor de hes suficientemente pequeño, se corrige automáticamente.
Algorítmo de Verlet con velocidad
editarComo mejora del original algoritmo, se ha propuesto una fórmula aplicable desde el principio donde interviene explicitamente la velocidad que se clculan por un procedimiento algo más refinado.
En la expresión del desarrollo en serie [3]:
Yn+h = Yn + h * f'(xn, Yn) + h2/ 2 * f(xn, Yn) +..
El término de Vn = f'(xn, Yn) se obtiene mediante el recurso:
Vn+h = Vn +
Texto de título
editar- ↑ Loup Verlet "Computer "Experiments" on Classical Fluids. I. Thermodynamical Properties of Lennard-Jones Molecules", Physical Review 159 pp. 98-103 (1967)
- ↑ William C. Swope, Hans C. Andersen, Peter H. Berens and Kent R. Wilson "A computer simulation method for the calculation of equilibrium constants for the formation of physical clusters of molecules: Application to small water clusters", Journal of Chemical Physics 76 pp. 637-649 (1982)
- ↑ Obsérvese la analogía con la fórmula que expresa el espacio recorrido en el caso del movimiento uniformemente acelerado