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Lugar en wikipediaLa lógica y su evolución

¿Que es la lógica?

La lógica consiste en un método o razonamiento en el que las ideas o la suceción de hechos se desarrolan de manera coherente sin que haya contradicciones en ella.

¿Cual fue su origen?

La lógica deriva su origen de la naturaleza misma racional del hombre; pues el hombre está dotado de una facultad natural para alcanzar con sus actos la verdad y evitar el error.Esto dio pie al desarrollo de la lógica natural y la lógica artificial que se preocupa del modo de pensar y de evitar errores.

Aristóteles, con toda razon, es llamado el fundador de la Lógica Formal que trata la cuestión del raciocinio y el silogismo.Los libros de Aristóteles que pertenecen a la Lógica son cinco, los cuales son "Las categorias", "Acerca de la interpretacion", "La analitica primera", "La analítica posterior", "Los topicos", "Dialecta" y "las listas sofistas". A todos estos libros, publicados conjuntamente, los comentaristas los llamaron "Organon" (instrumento), por el hecho de ser instrumento de las otras ciencias. Esta lógica de Arístoteles parece exigir con todo derecgo que se agregada a los documentos más excelentes de la cultura humana.

¿Como es la lógica en la actualidad?

En la actualidad se cultivan de modo especial casi todas las cuestiones lógicas.Se hacen muchos progresos en la cuestión de la induccion de su método y de la metodología propia de cada ciencia.Entre estos sobresale Stuart Mill, el cual por una parte cultivó mucho el metodo inductivo, y por otra parte en cambio, es tendido como el principal autor del psiologismo.Hoy se da una gran importancia , tal vezexcesiva a la logística o lógica matemática , la cual usa de signos para referirse a las operaciones lógicas con simplicidad y de un modo más abstracto. Esta logística la cultiva Bonchenski y Rutsell, el cual editó varias obras de este género.

¿Que es la lógica proposicional?

La lógica proposicional es una rama de la lógica encargada de estudiar el razonamiento de la proposciones de un sistema lógico.Una propsición es cualquier enunciado al que podamos clasificar como verdad o falsedad.A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden formar operaciones lógicas para crear otras proposiciones.Para ayudardarnos a clasificar las proposiciones usaremos tablas de verdad que nos permiten clasificarlas en función de las proposiciones que la componen.

¿Que es la Lógica Matemática?

Esta lógica consiste en el estudio matemático de la propia lógica.La lógica matemática no es la <<lógica de las matemáticas>> sino la <<matemática de la lógica>>.Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente. Esta lógica tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computacion y con la lógica filosófica.

Divisones de la lógica matemática

La lógica matemática se estructura en cuatro campos:

Teoría de modelos

La teoría de modelos nos permite verbalizar en lenguaje formal una teoría.Esto se realiza mediante el uso de signos para simbolizar las relaciones que tienen lo elementos entre sí.Por tanto un modelo es aquella proposicion que ha sido interpretada correctamente y verificada. La teoría de modelos se preocupa de lo que se puede probar con sistemas matemáticos dados, y cómo estos sistemas se relacionan entre sí. Se preocupa particularmente de qué sucede cuando tratamos de extender algún sistema agregando nuevos axiomas.

Teoría de la demostración

La teoría de la demostracion trata a las demostraciones como objetos matemáticos para proceder a su análisis utilizando técnicas matemáticas.La teoría de modelos vista anteriormente es una herramienta para la teoría de la demostración.Las demostraciones suelen plantearse como estructuras de datos que se construyen con las reglas de inferencia de los sistemas lógicos.Por tanto la teoría de la demostración se ocupa de la sintaxis mientras la teoría de modelos se ocupa de la semántica.

Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos se centra en la relaciones y las propiedades que tienen los conjutos.Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre sí que se llaman elementos.Un elemento pertenece a un conjunto si cumple la relación de pertenencia.

Los conjuntos complen las siguientes propiedades:asociativa,idempotencia,conmutativa,absorción,distributiva y complementativa.

Teoría de la recursión

La teoría de recursión es la parte de la computación que estudia los problemas de decisión que pueden ser resueltos con un algoritmo.

Refencias

https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm

http://canalissantos.blogspot.com.es/2012/08/origen-y-evolucion-de-la-logica.html

http://logica2730.blogspot.com.es/2010/05/subcampos-de-la-logica-matematica.html

http://osl2.uca.es/wikira/index.php/L%C3%B3gica_proposicional

Introducción

En la teoría del análisis combinatorio se estudia la manera de tomar todos los elementos de un conjunto según varios métodos, a los cuales llamaremos arreglos, combinaciones o permutaciones. Nos proponemos, en cada caso, establecer formulas numéricas que permitan calcular el número de subconjuntos que pueden formarse con los elementos del conjunto dado.

Actualmente, el análisis combinatorio tiene por objeto el estudio de las distintas formas de agrupar y ordenar los elementos de un conjuntos, sin tener en cuenta la naturaleza de estos elementos.

Los problemas típicos de arreglos y combinaciones tienen un aspecto árido y monótono.Al principio, cuesta creer que los conocimientos que se adquieren al resolver problemas de este tipo puedan servir mucho en otros estudios. Sin embargo, los teoremas del analisis combinatorio son la base del cálculo de la probabilidad.

La probabilidad es una de las ramas de la matemática que se ocupa de los arreglos y las combinaciones que determinan el número de formas diferentes en que un acontecimiento puede suceder.

También el análisis combinatorio tiene importantes aplicaciones en el diseño y funcionamiento de ordenadores, así como en las ciencias físicas y sociales.De hecho, la teoría combinatoria es de gran utilidad en todas aquellas áreas en donde tengan relevancia las distintas maneras de aagrupar un numero finito de elementos.

En el estudio de la evolución del pensamiento matemático, se considera un gran logro de la época medieval la suma de progresiones desarrollada por Yang Hui en siglo XIII. Junto a estas sumas de progresiones se establecieron los elementos básicos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso", de manera similar a lo que hoy conocemos como triángulo de Pascal.Pero el origen de la combinatoria de remonta a los trabajos de Pascal y Fermat que fundamentaron el cálculo de probabilidades. También se ocupo del análisis combinatorio el alemán Gottfried.W.Leibniz en su obra "Disertatio de Arte Combinatoria", publicada en 1966. Sin embargo, el mayor impulsor de esta rama durante el siglo XVII fue Jacques Bernoulli, quien en su obra "Ars Conjectandi" publicada en 1713, ocho años despues de su muerte, aunque el trabajo estaba incompleto incluye una teoría genreal de permutaciones y combinaciones.

Variaciones

Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Recibe el nombre de variación al cambio de orden de esos m elementos (n<=m), a todo grupo ordenado formado por n elementos o bien, si teniendo los mismos, difieren en ele orden en que están colocados.El total de esos grupos se indica por Vm,n. Existen dos tipos:

Variaciones con repetición

Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Recibe el nombre de variación con repetición de orden n cualquier grupo formado por n elementos, no necesariamente distintos, tomados entre los m del conjunto original. Al poder repetir elementos puede que sea n>m. El total de esos grupos ordenados se indica por VRm,n.

Variaciones sin repetición

Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Recibe el nombre de variación con repetición de orden n cualquier grupo formado por n elementos, necesariamente distintos, tomados entre los m del conjunto original. Al poder repetir elementos puede que sea n>m. El total de esos grupos ordenados se indica por VRm,n.

Permutaciones

Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Recibe el nombre de permutacion simple de m elementos, cada uno de los distintos grupos que puede formarse de manera que cada uno de ellos contenga los m elementos dados, difiriendo un grupo de otro unicamente en el orden de colocación de sus elementos. El total de esos grupos ordenados se indica por Pm.

Como hemos definido las permutaciones sin repetición de los m elementos de un conjunto como un caso particular de la variaciones sin repetición, se hace necesario declarar cuales son las características que permiten diferenciarlas del resto de las variaciones sin repetición.En este sentido enunciaremos a titulo de características las siguientes: Dos muestras difieren únicamente en ele orden de sus elementos, en todas la muestras del experimento aparecen los m elementos del conjunto y los elementos nos repiten en las muestras.

Permutaciones circulares

Dado un conjunto de m elementos, recibe el nombre de perutación circular, una agrupación de los m elementos de forma que una cualquiera de ellas será distinta de otra únicamente si varía la posición relativa de sus elementos

Permutaciones con repetición

Sea un conjunto de m elementos, entre los que esxisten n1 objetos iguales y de un mismo tipo, n2 iguales pero de distinto tipo, y así sucesivamente hasta hasta un grupo de nk objetos también idénticos entre sí. Las permutaciones distintas que pueden formarse en esas condiciones reciben el nombre de permutaciones con repetición de m elementos entre los que n1 son iguales, n2 son también iguales, y así sucesivamente , hasta nk iguales. El total de esos grupos distintos se indica por Pr(m,n1,n2,...,nk) con m= n1 + n2 +...+nk

Combinaciones

Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Recibe el nombre de combinación simple de orden n de esos m elementos(n<=m), cada grupo formado por n elementos tomados de los m, y tal que dos combinaciones se considerarán distintas si difieren en algunos de sus elementos.

En la combinaciones no influye el orden de colocación, dos combinaciones son la misma si contienen los mismls elementos colocados en distinto orden.

Combinaciones con repetición

Sea un conjunto formado por m elementos todos ellos distintos entre sí. Recibe el nombre de combinaciones con repetición de orden n de m elementos, distintos o repetidos, tomados de los m dados. El total de esos grupos ordenados se indica por CRm,n.

Los grupos no difieren en el orden entre sus elementos y los elementos se pueden repetir en en los grupos

Definición

Un grafo es un conjunto de vértices(o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas que pueden ser orientadas o no.Normalmente, un grafo se representa mediante una serie de puntos(los vértices) conectados por líneas(las aristas).

Los grafos son utilizados en ciencias de la computación con el objetivo de estructurar datos.Existen diferentes formas de almacenar datos en una computadora.La estructura de datos usada depende de las características del grafo y el algoritmos para manipularlo.Entre las estructuras mas sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas.Las listas son preferidas en grafos dispersos porque tienen un eficiente uso de la memoria.Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

Origen

Para entender mejor qué es un grafo, viajemos al año 1736, cuando Leonard Euler publica la solución del problema de los puentes de konigsberg. En el se planteaba como cruzar los siete viaductos de la ciudad que vadeaban el rio Pregolya, pasando exclusivamente una vez por cada uno.Euler se ayuda de un grafo donde las distintas áreas de la ciudad son los nodos o los vértices, y los puentes son las aristas o arcos.Euler determinó que no existe solución para el problema de los puentes de konigsberg. L uego , en 1847, Gustav Kirchoff utilizó la teoría de grafos para el analisís de redes eléctricas publicando sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos, conocidas como las leyes de kirchoff,considerado la primera aplicación de la teoría de grafos a un problema de ingeniería.

En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores el cual afirma que es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos paises vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo déspues por Kenneth Appel y wolfgang Haken en 1976, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos.Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.

Aplicaciones

Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo,Dibujo computacional, en todas las áreas de Ingeniría. Los grafos también se utilizan para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd. Para la administración de proyectos , utilizamos técnicas como la técnica de revisión y evalución de programas en las que se modelan los mismos utlizandos grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.

Tipos de grafos

Grafo simple: Es aquel que acepta una sola arista uniendo dos vértices cualesquiera.Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vertices específicos.

Grafo completo: Un grafo dimple es completo se existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir todo par de vertices debe tener una arista y un vértice que les une. El conjunto de grafos es denominado usualmente con la letra K, mientras al número de vértices se les denomina con la letra n. En un grafo completo para hallar el numero de aristas simplemente deberemos multiplicar n con n-1 y dividir entre dos. La representación grafica de los grafos completos tiene forma de polígono regular.

Grafo plano: Un grafo plano es aquel que al representarlo en un plano sus aristas no se cortan salvo en sus extremos.A dicha representación se le denoomina grafo plano.

Grafo conexo: Un grafo es conexo si todos sus vértices estan conectados por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a,b), existe al menos un camino posible desde a hacia b. Es posible determinar si un grafo es fuertemente conexo con la información de los grados de sus vértices al tiempo que se acumulan las difentes rutas que salen de un vértice o llegan a él.

Multigrafo: Son grafos que aceptan mas de una arista entre dos vértices. Estas aristas se llaman múltiples o lazos.Los grafos simples son una subclase de los multigrafos. También se les llama grafo no-dirigido.

Grafo dirigido: Son grafos en los cuales se ha añadido una orientación a las aristas representada gráficamente por una flecha

Grafo etiquetado: Son los grafos en los cuales se les ha añadido un peso a las aristas o un etiqutado a los vértices.

Grafo aleatorio: Es aquel grafo al que a las aristas se les ha asociado una probabilidad.

Hipergrafo: Grafos en los cuales las aristas tienen mas de dos extremos,es decir, las aristas son incidentes a 3 o más vertices.

Grafo infinito: Grafos con un conjunto de vértices y aristas de cardinal infinito.

Grafos acíclicos: Esste tipo de grafo es usado para modelar situaciones de conjunto de tares¡as que necesitan tener una secuencia particular y donde es importante que no existan ciclos puesto que una tarea en un ciclo estaría precedida de sí misma,es decir, que se repetiría.

Representación de un grafo

Existen diversas formas de representar un grafo dirifido o no-dirigido, pero entre ellas las más usadas y faciles de implementar por computador so: la matriz de adyacencias y la lista de adyacencias.Esta última es la más conveniente para efectos de computación puesto que opera más rápido y ocupa menos memoria.

Matriz de adyacencia de un grafo

Sea G una matriz de n nodos.La Matriz de adyacencias es una matriz de nxn de valores booleanos, donde M(i,j) es verdad si y solo si existe un arco desde el nodo i al nodo j.Las filas y las columnas de la matriz representan los nodos del grado.Cuando el grafo no es dirigido la matriz de asyacencias es simétrica. La matriz de adyacencias es la misma matrixa de la relacion A de N en N porque indica cuales nodos estan relacionados(unidos por un arco)

Lista de adyacencias

Sea G un grafo.La lista de adyacencias para un nodo i es una lista, en cualquier orden de todos los nodos adyacentes a i.En esta representación el grafo incluye dos partes: un directorio y un conjunto de listas en enlazadas.Hay una entrada al directorio por cada nodo del grafo.

Coeficiente de estabilidad

El coeficiente de estabilidad es un concepto muy a aplicable en la teoría de grafos.Exsiten dos tipos el coeficiente de estabilidad interna y externa que sirve para resolver problemas referentes a modelos de comunicación.

Interna: Sea S un subconjunto de nodos de un graffo se dice que S es inferiormente estable si no contiene ninguna pareja de nodos adyacentes.

Externa: Diremos que un subconjunto es exteriormente estable si todo nodo del complementario es origen almenos un arco cuyo esxtremos es uno de los vértices del subconjunto.

Origen del método inductivo

La generación de conocimientos a través de la mera acumulación de observaciones ha sido fundamentañ en la historia de la ciencia, y se conoce como método inductivo. Este método data desde antes de Aristóteles y se le atribuye a John Stuart Mill por se este su pricipal propulsor; se caracterixa por ser un procedimiento empírico basado en la observacióm y va de lo particular a lo general. T iene el grave peligro de la generalización y es el mecanismo habitual del prejuicio.

Para la ciencia es importante establecer generalizaciones. La importancia de la generalización radica en el hecho de poder manejar cada nuevo problema identificándolo simplemente como perteneciente al tipo de problemas cubiertos por la generalización.

Existen dos caminos para llegar a una generalización. El primero, consiste en considerar desde el principio el caso general. El método de la lógica matemática llamado "deducción", trabaja desde lo general a lo particular; la obtención de la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado es un ejemplo de método deductivo. El segundo consiste en examinar un cierto número de casos particulares para descubrir la forma en que están relacionados. Una vez que se determina esta relación se le constituye en generalización. Se trabaja de lo particular a lo general, lo cual forma el método de la lógica matemática llamado "inducción".

El peligro de la inducción reside en los casos particulares, sin importar cuán grande sea su número, puede tener características especiales que hagan que una generalización basada en ellas pueda resultar errónea.Balvanera(1995) dice que el éxito de este método depende de que las observaciones se realicen de manera organizada y dirigida al entendimiento de las variables relacionadas con un fenómeno dado.En la inducción pasamos de hechos particulares a principios generales, y esto se realiza a través del método observaciona inductivo. En el método inductivo partimos de la exploracióm de abundantes datos obtenidos mediante la observación rigurosa.

El método inductivo reconoce cuatro fases de investogación: la observacion y registro de todos los hechos, el análisis y clasificación de éstos, la derivación inductiva de generalizaciones a partir de ellos y la contrastación de la generalizaciones. Mencionando que la observación de todos los hechos resulta un proceso imposible de realizar, dado que requiere de la recopilación de un número infinito de casos,además de que la observación depende del respaldo de una teoría, y como suponen los inductivistas, que la observación proporciona una base a partir de la cual derivan teorías o leyes

Gesto(1993) comenta que la base del inductivismo se encuentra en la idea de que la ciencia comienza con la observación, y que ésta nos lleva a la teoría por medio de la inducción, asegurando esto último la verdad de una teoría por ser verdaderas las observaciones.

Balvanera menciona que un ejemplo clásico de generación de conocimiento a partir del método inductivo es el libro "Origen de la especies", de Charles Darwin.

La observación requiere de una teoría para su interpretación

La observación y la cumulación de conocimientos son indispensables para la generación de hipóesis o teorías en la ciencias naturales. Sin embargo, no siempre la acumulación de conocimientos conduce a la generación de hipótesis acerca de fenómenos observados. Si no se tiene clara una pregunta, si la información acumulada no es la adecuada, o si se carece del marco conceptual dentro del cual pueden analizarse los resultados obtenidos, no es posible sacar conclusiones y partir de las observaciones realizadas. Tal fue el caso de Gartner, un agricultor que decició hacer cruces de plantas cultivadas con el obeto de obtener variedades más productivas. A pesar de que Gartner acumuló información sobre cientos de miles de cruces de plantas cultivadas, la información no fue suficiente para la generación de explicaciones acerca de los mecanismos involucrados en la herencia. Gartner en realidad no estaba interesado en resolver una pregunta acerca de la herencia, sino en mejorar las variedades de plantas.

En cambio Gregor Mendel(1822-1884), logró plantear hipótesis acerca de los mecanismos involuvrados en la herencia y someterlas a prueba, gracias a su formación conceptual. Analizó cuidadosamente los trabajos de Gartner y los de otros genetistas. Sus observaciones lo llevaron a constatar que tanto en plantas como en animales, los hijos pueden ser distintos de los padres e color, tamaño o algún otro caráter. La observación prolongada de distintos sistemas y la experimentación con preguntas específicas con el chicharo, permitieron a Mendel desarrollar las Leyes de la Herencia que utilizamos hasta hoy en día. La combinación de su formación conceptual en matemáticas y la observación y experimentacióm juntas fueron indispensables para la generación de tan importante teoría.

El método Hipotético-Deductivo

La elaboración de hipótesis y el ejercicio de someterlas a prueba en condicioes experimentales es un componete angular del método científico, y conforma el método Hipotético-Deductivo. En este método, el componente más importante consiste en someter a prueba hipótesis a través de experimentos que permitan aceptar una de dos hipótesis alternativas u opuestas. Las hipótesis se derivan de la observación junto con el anális del marco conceptual, como en el caso de las Leyes de Mendel.

En la deducción a partir de un principio universal derivamos hechos particulares. Por otro lado en el método hipótetico-deductivo comenzamos con presupuestos e hipótesis de caracter general, muchas veces expresadas en forma de modelos, y a partir de la experimentación o el diseño pseudoexperimental por control estadístico examinamos mecanismos y procesos.

El método deductivo es el propio de las ciencias empíricas. Todas ellas trabajan con obetos reales. Se dan ciertas premisas y se aplican las reglas del procedimiento científico. Estas hipótesis son aceptadas bajo la condición de ser luego comprobadas.El método hipótetico-deductivo es la caracterización del método científico que debemos a los filósofos positivistas lógicos. Según esta caracterización las hipótesis científicas obtienen su reconocimento gracias a que son confirmadas por alguna evidencia empírica.

Un ejemplo clásico de experimentación es el de los trabajos Lázaro Spallanzani(1792-1799). En el siglo XVII, los científicos no sabían exactamente como los espermatozoides causaban la fertilización del óvulo. Hoy en día, el uso de la tecnología, como el microscopio electrónico, nos ha permitifo describir con granb precisión la forma en que el espermatozoide fertiliza al óvulo y el huevo se desarrolla en un embrión y posteriormente en un organismo bien formado.

Las características importantes del método hipótetico-deductivo son las siguientes:

El primer paso es el establecimiento de hipótesis:

El primer paso es el establecimiento de hipótesis claras, y alternativas entre ellas.

El diseño de un experimento que permita desechar alguna de las hipótesis y comprobar otra.

La realización de un experimento sencillo en donde todas las condiciones sean idénticas salvo un factor.

El análisis de resultados y la ceptación de la hipótesis adecuada

La realización de experimentos posterioes para confirmar o afirmar los conocimientos producidos.

Inferencia

La inferencia es una forma de especulación mental que permite establecer conclusiones a partir de supuestos o planteamientos hipóteticos. Pueden ser de dos tipos según la manera de acercamiento al problema: deductiva cuando aplicas una regla general a un caso concreto o inductiva cuando partes de varios casos particulares para formular una regla o principio. Las inferencias más conocidas son las hipótesis, explicaciones razonadas que, ya sea a partir de la enumeración de una serie de pasos o de una regla general, plantean una conjetura inteligente o proponen una solución tentativa al problema planteado.

Método

El proceso de una demostración por inducción matemática consiste de los siguientes pasos:

En primer lugar, escribir claramente la proposición P(n) cuya validez quiere demostrarse, especificando la variable de inducción y el conjunto de valores que puede asignarse a dicha variable. Por ejemplo, si se escribe P(n), n representa la variable de inducción.

Si P(n) es una proposición enunciada para todos los números naturales se debe verificar el cumplimento de la proposición para el menor valor de n. (esto equivale a verificar que 1 pertenece a S)

Demostrar que si P(k) es verdadera, entonces P(k+1) es verdadera(esto equivales a demostrar que si k pertenece a S entonces k+1 pertenece a S también)

Cuando estos dos requisitos se cumplen, se concluye que P(n) es verdadera para todo n en el conjunto de los números naturales.

Una de las fórmulas que suele demostrarse por inducción es:

1 + 2 + 3+ ... +n = n*(n+1)/2

Esta fórmula, prácticamente aparece en todos los libros de matemáticas que tratan el tema de inducción matemática; sin embargo, no es fácil encontrar el razonamiento empleado en la obtención de dicha expresión. El proceso de obtención de la fórmula anterior se apoya en algunas ideas matemáticas de la escuela pitagórica. Los pitagóricos estudiaron ciertos números figurados a los que llamaron números triangulares, cuadrados, pentagonales, etc.

Detengámonos en los números llamados triangulares. Los números triangulares se obtienen representando una pirámide en la cumbre de la pirámide hay un solo bloque para hallar el número de bloques que hay en el nivel inferior deberemos sumar 1 al número del nivel actual. Por ejemplo si la pirámide tiene dos niveles su número triangular es 3 3 mientras que si la pirámide tiene 3 niveles su número triangular es 6. Por lo que para hallar el enésimo número triangular habrá que sumar n al que precede De modo que:

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 ... n = enésimo número triangular

Si dividimos en dos el cuadrado de abajo de tal forma que una parte este formada por los puntos de debajo de la diagonal de a diagonal incluyéndola y otra los puntos que están por encima obtenemos que son números triangulares.En este caso el 6 y el 3.

 *     *     *

 *     *     *

 *     *     *

De esta forma obtenemos la pauta de la demostración de la fórmula anterior.

Si Tn es el enésimo número triangular, entonces Tn= 1 + 2 + 3 + ...n.

Además, como ya vimos el enésimos número triangular Tn se obtiene agregando n puntos al que precede,es decir,

Tn = Tn+1 + n

2 Tn = n^2 + n

Tn= (n^2 +n)/2

1 + 2 + 3 + .... n = n*(n+1)/2

Esta fórmula para la suma de los n primeros números naturales establecida en la Grecia clásica, recibe así una demostración geométrica.