Usuario:Nancy Angelica Vargas/Taller

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BIDOMINIO DEL CORAZON

El modelo del bidomino es un modelo matemático de tejido fino cardíaco donde se consideran sus características eléctricas anisotropicas (En una dirección). Este tejido muscular se conforma por células estriadas longitudinales y transversales imperfectas que difieren del músculo esquelético, sobre todo en la posición central de su núcleo y en la ramificación e interconexión de las fibras. N

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MÚSCULO CARDIACO COMO SERIE CONTINUA

Las células individuales del músculo cardíaco son cilindros circulares con un diámetro del 10 µm y longitud de l00 µm. Las células se apilan juntas como ladrillos y son ligadas por las ensambladuras apretadas (puntos de soldadura). Además, hay las ensambladuras del boquete, que prevén la comunicación intercelular. La última introduce un acoplamiento intercelular directo que permite el movimiento de moléculas y de iones pequeños del espacio intracelular de una célula al de sus vecinos. La ensambladura del boquete consiste en órdenes hexagonales de proteínas llamadas los connexons, que penetran totalmente las pre y membranas de la post-juntura. Un canal central proporciona una trayectoria resistente para el movimiento de iones entre las células. Puesto que tales trayectorias se limitan en números y tienen áreas seccionadas transversalmente muy pequeñas, la resistencia eficaz de la juntura no es insignificante. De hecho, la resistencia neta de la juntura entre dos células colindantes debe estar en la misma orden de magnitud que la resistencia de extremo a extremo del mioplasma de cualquier célula. La longitud del canal de la juntura de las dos membranas del plasma es (2 X 8.5 nm) más el boquete entre las membranas (3 nm) es de alrededor de (20 nm). Esta longitud es muy corta al contrario de la longitud de una célula. Por lo tanto, desde la juntura total y las resistencias mioplasmicas es aproximadamente igual pero se distribuye sobre las longitudes que están en el cociente de $2X10^{-4}$ Se puede pensar en la resistencia de la juntura como si estuviera concentrado en un punto (es decir, es una resistencia discreta), mientras que la resistencia mioplasmica se separa hacia fuera (o se distribuye). Una representación simplificada del espacio intracelular se da en el cuadro 1. Las distribuciones actuales y potenciales eléctricos dentro de una célula son continuas. Sin embargo, la ensambladura, debido a su longitud relativamente corta pero a resistencia importante, se debe considerar como relativamente discreta, e introduce saltos en los patrones del voltaje, que explica la representación dada en el cuadro 1. Confinando nuestro interés para el campo potencial y actual las variaciones hacen un promedio sobre muchas células, y puede aproximar la región intracelular descrita en el cuadro 1 por un conductor (hecho un promedio) continuo del volumen que llena el espacio total. El resultado es un medio intracelular que es continuo.

Uno puede aplicar las mismas consideraciones al espacio intersticial (Intersticio). Los campos que se asocian a esta serie continua se pueden considerar como un promedio sobre una distancia de varias células apenas en cuanto al espacio intracelular. Resumiendo, el tejido fino cardiaco complejo se puede substituir por series continuas intersticiales, Los parámetros de las series continuas son derivados por un promedio conveniente de la estructura real. Ambos espacios son descritos por el mismo sistema coordinado. La membrana separa ambos dominios en cada punto. Este modelo se ha descrito y se ha señalado como bidominio.

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MATEMÁTICA DEL BIDOMINIO Y DE LA ANISOTROPIA

La descripción verbal del bidominio, discutida arriba, conduce a las expresiones matemáticas definitivas para las corrientes y los potenciales que, debido a la estructura continua, están en forma analítica. Primero introducimos el concepto de conductividad del Bidomino $\sigma ^{b}\ \$. Las conductividades intra y extra celular $\sigma _{i},\sigma _{o}\ \$ son conductividades microscopicas. Es decir, se describe la conductividad en un punto, y para un medio no homogéneo son funciones de la posición. Las conductividades del bidominio $\sigma _{i}^{b},\sigma _{o}^{b}\ \$ son valores hechos en promedio sobre varias células. Ésto es porqué las conductividades del bidominio dependen de la conductividad microscópica y de la geometría.

Ahora generalizamos la ecuación ${\vec {J}}=-\sigma \nabla \ \phi \$ a un medio que conduce anisotropicamente donde son proporcionales los componentes de la densidad de corriente en las direcciones de x, de y, y de z al gradiente de la función potencial escalar intracelular $\ \phi _{i}\$en las direcciones correspondientes. Así, para el dominio intracelular la densidad de corriente en el medio intracelular da:

${\vec {J}}_{i}=-[{\frac {\sigma _{ix}^{b}\partial \phi i}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\sigma _{iy}^{b}\partial \phi i}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\sigma _{iz}^{b}\partial \phi i}{\partial z}}{\hat {k}}]\quad \quad \quad (1)$

donde:

${\vec {J}}_{i}=\$densidad de corriente en el medio intracelular.

$\phi _{i}=\$potencial eléctrico en el medio intracelular.

$\sigma _{i},\sigma _{o}\ =\$ conductividades intracelulares del bidominio en las direcciones de x, de y, y de z

${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}=\$ vectores de la unidad en las direcciones de x, de y, y de z

La proporcionalidad constante (es decir, la conductividad del bidominio) en cada dirección coordinada se considera diferente, reflejando la condición más general. Tal anisotropicidad debe esperar debido al carácter organizado del tejido fino con direcciones de conducción preferencial. Correspondientemente, en el dominio intersticial, anisotropico asumido aquí también, tenemos:

${\vec {J}}_{0}=-[{\frac {\sigma _{0x}^{b}\partial \phi _{0}}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\sigma _{i0}^{b}\partial \phi _{0}}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\sigma _{i0}^{b}\partial \phi _{0}}{\partial z}}{\hat {k}}]\quad \quad \quad (2)$

donde:

${\vec {J}}_{0}=\$densidad de corriente en el medio intracelular.

$\phi _{0}=\$potencial eléctrico en el medio intracelular.

$\sigma _{0x}^{b}\sigma _{0y}^{b}\sigma _{0z}^{b}=\$conductividades intracelulares del bidominio en las direcciones de x, de y, y de z

${\vec {i}}{\vec {j}}{\vec {k}}=\$ vectores de la unidad en las direcciones de x, de y, y de z

Generalmente los coeficientes de la conductividad en los dominios intracelulares e intersticiales pueden ser diferentes puesto que están, esencialmente, sin relación.Los coeficientes en las ecuaciones 1 y 2 para el músculo cardiaco, en la tabla 1, son resultados de medidas macroscopicas disponibles de estos parámetros importantes; desafortunadamente se diferencian substancialmente (en parte porque diversos métodos fueron utilizados), dejando un grado de incertidumbre con respecto a los valores correctos. La orientación de la fibra en estas determinaciones fue definida como la coordenada de x; debido a la uniformidad en el plano transversal, las conductividades en y y z son iguales.

La densidad de corriente intracelular ${\vec {J}}_{i}\$ (ecuación 1) y la densidad de corriente intersticial ${\vec {J}}_{0}\$(ecuación 2) son juntadas por la necesidad de la conservación actual. Es decir, la corriente perdida en una región se debe ganar por la otra. La pérdida (o el aumento) es evaluada por la divergencia; por lo tanto,

$-\nabla \cdot {\bar {J_{i}}}=\nabla \cdot {\bar {J_{0}}}=Im\quad \quad \quad \quad \quad (3)$

donde Im = corriente transmembrana por unidad de volumen [µA/cm3].

En la retrospección, la debilidad en el modelo del bidominio es que todos los campos espaciales están considerados por un promedio, con una pérdida consiguiente en la resolución. Por otra parte, el comportamiento de todos los campos es expresado por las ecuaciones diferenciales 1 y 3 que permiten el uso de los acercamientos matemáticos disponibles en la física matemática.

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BIDOMINIO UNIDIMENSIONAL

Si se considera un grupo de fibras estriadas paralelas del músculo que se hallan en un medio aislador tal como aceite, y si un electrodo grande de la placa se coloca en cada extremo y provee el paso de corriente y si todas las fibras son de diámetro esencialmente igual, la respuesta de cada fibra será igual. Por lo tanto, considerar el comportamiento del grupo es considerar cualquier fibra sola, que entonces caracterice todas las fibras. Una fibra tan prototípica y su espacio intersticial asociado se describen en el cuadro 2. El área seccionada transversalmente del espacio intersticial demostrado en el cuadro 2 muestra a 1/N como el área seccionada transversalmente intersticial total del paquete de la fibra, donde está el número N de fibras. Generalmente, el área seccionada transversalmente intersticial es menor que el área seccionada transversalmente intracelular, puesto que las fibras ocupan típicamente 70- 80% del área total. Por lo tanto, una representación eléctrica es mostrada en el cuadro 2. En este caso el modelo es apropiado e incluye correctamente la resistencia axial intersticial puesto que la corriente en esa trayectoria se obliga a la dirección axial. Una representación del circuito para las condiciones de estado estacionario se da en el cuadro 3. En esta figura, el ri y el ro son las resistencias axiales intracelulares e intersticiales por unidad de longitud, respectivamente. Puesto que se asumen las condiciones subliminales de estado estacionario, el comportamiento de la membrana se puede describir por una resistencia constante de la longitud de los tiempos de los ohmios del rm, por lo tanto la componente capacitiva de la corriente imC de la membrana = V t = 0.

El sistema, que es modelado por la Figura 3, es de hecho, una serie continua. Puede ser descrito por consiguiente por ecuaciones diferenciales apropiadas. De hecho, estas ecuaciones que siguen se han derivado. Particularmente, encontramos:

${\frac {\partial ^{2}V_{m}}{\partial x}}-{\frac {V_{m}}{\lambda ^{2}}}=0\quad \quad \quad \quad \quad (4)$

Donde se define la constante del espacio, $\lambda \$, como

$\lambda ={\sqrt {\frac {r_{m}}{r_{i}+r_{0}}}}\quad \quad \quad \quad \quad (5)$

y tiene la dimensión [cm].

En la ecuación 4, Vm describe el potencial de la membrana Por lo tanto Vm corresponde a V. Puesto que, bajo ciertas condiciones, no hay corrientes o señales (aunque hay un voltaje en la transmembrana) el interés se confina generalmente a las desviaciones de una condición, y a toda la referencia del potencial. En el cuadro 2, se muestra una corriente Ia para incorporar el espacio intersticial en el borde izquierdo (x = - l /2), y como procede a la derecha, cruces de una porción de la membrana al flujo en el espacio intracelular. El proceso se invierte en la mitad derecha de la fibra, como consecuencia de la [[simetría. La condición de límite de Ii = 0 en x = ± l /2 depende de los extremos que son sellados y del área de la membrana en los extremos que son una fracción muy pequeña del área total.

Aunque la corriente puede cruzar las membranas del extremo, el área relativa es tan pequeña que la corriente relativa debe además ser muy pequeña (e insignificante); esta discusión es apoyada por estudios analíticos. La corriente de la transmembrana por unidad de longitud mide el tiempo de la resistencia de la membrana (es decir, Vm = imrm), la condición antisimétrica esperada para Im se debe también satisfacer por la Vm. Puesto que la solución a la ecuación diferencial de 4 es la suma de seno hiperbólico y de funciones de coseno:

(6)

donde Ka = a una constante que se relaciona con la fuerza de la corriente, Ia.

Encontramos para las corrientes axiales dentro y fuera del axon, la ecuación:

$I_{i}={\frac {1}{r_{i}}}{\frac {\partial \Phi _{i}}{\partial x}}\quad \quad \quad \quad \quad (7a)$

$I_{0}={\frac {1}{r_{0}}}{\frac {\partial \Phi _{0}}{\partial x}}\quad \quad \quad \quad \quad (7b)$

Si la ecuación 7.a se aplica en cualquier extremo de la preparación (x = ± l /2), donde $0={\frac {\partial \Phi _{0}}{\partial x}}\$ y donde el Io = Ia, se obtiene:

$I_{0}={\frac {1}{r_{0}}}{\frac {\partial V_{m}}{\partial x}}=I_{a}\quad \quad \quad \quad \quad (8)$

Sustituir la ecuación 6 en la ecuación 8 permite la evaluación de ka como

$K_{a}={\frac {I_{a}r_{0}\lambda }{\cosh(l/2\lambda )}}\quad \quad \quad \quad \quad (9)$

Por lo tanto, sustituir la ecuación 9 en la ecuación 6 resulta

$V_{m}=I_{a}r_{0}\lambda {\frac {\sinh(x/\lambda )}{\cosh(l/2\lambda )}}\quad \quad \quad \quad \quad (10)$

Estamos interesados en examinar el comportamiento actual intracelular e intersticial sobre la longitud de la fibra. Las corrientes intracelulares e intersticiales son encontradas por la ecuación 10 en las ecuaciones 9.7a, b, mientras que observan esas $\ V_{m}=\phi _{i}-\phi _{o}$ y que las corrientes intracelulares e intersticiales son dadas por el requisito Ii + Io = Ia para todo el x debido a la conservación de la corriente. El resultado es:

$I_{i}=I_{a}{\bigg [}{\frac {r_{0}}{r_{i}+r_{0}}}-{\frac {r_{0}}{r_{i}+r_{0}}}{\frac {\cosh(x/\lambda )}{\cosh(l/2\lambda )}}{\bigg ]}\quad \quad \quad \quad \quad (11)$

$I_{0}=I_{a}{\bigg [}{\frac {r_{i}}{r_{i}+r_{0}}}-{\frac {r_{0}}{r_{i}+r_{0}}}{\frac {\cosh(x/\lambda )}{\cosh(l/2\lambda )}}{\bigg ]}\quad \quad \quad \quad \quad (12)$

Las corrientes intracelulares e intersticiales descritas por la ecuaciones 11 y 12 se trazan en el cuadro 4 para el caso que l = 20l y donde ri = ro/2. Una característica importante es el fenómeno descrito por la redistribución actual. Observamos que esta redistribución de la corriente del intersticial al espacio intracelular ocurre sobre un grado axial de varios , se puede concluir que si la longitud de la fibra, expresada en , es 10 veces mayor que, entonces en la región central, esencialmente la redistribución completa ha ocurrido. En esta región, las relaciones corriente-voltaje aparecen como si la membrana estuviera ausente. De hecho, la Vm = 0 y las corrientes intracelulares e intersticiales son esencialmente axiales y constantes.

La impedancia total presentada a los electrodos por la fibra puede ser evaluada dividiendo el voltaje aplicado $\ V_{a}=[\phi _{0}(-l/2)-\phi _{o}(l/2)]$ por la corriente total Ia. El valor de Va puede ser encontrado integrando IoRo de x = - l /2 a x = l /2 usando la ecuación 12. El resultado es que la impedancia Z es:

$Z={\frac {r_{0}}{r_{i}+r_{0}}}[r_{i}l+2r_{0}\lambda \tanh(l/2\lambda )]\quad \quad \quad \quad \quad (13)$

Si $\quad (l\gg \ 1)\$ y si el ri y el ro se asume que estan en la misma orden de la magnitud, después del segundo término en la ecuación 13 se puede obviar al primer y la carga es esencialmente contando como si la membrana estuviera ausente (una sola resistencia del dominio encontrando la contribución paralela de ro y de ri). Y si $\quad (l\ll \ 1)\$, entonces $\ tanh(1/2\lambda )$ aproximdamente igual $\ 1/2\lambda \$ reflejando la ausencia de cualquier redistribución actual significativa; solamente el espacio intersticial provee una trayectoria actual del flujo. Cuando ninguna de las dos desigualdades sostiene, Z refleja un cierto grado intermedio de redistribución actual.

El ejemplo es una ilustración simple del modelo del bidominio y es incluido por dos razones. Primero, es un problema unidimensional y por lo tanto matemáticamente simple. En segundo lugar, como hemos observado, la preparación considerada es, de hecho, una serie continua. Así mientras que el músculo cardiaco fue aproximado como serie continua y por lo tanto descrito por un bidominio, en este caso una serie continua no es justa una ausencia de simplificación sino, de hecho, una descripción válida del tejido fino.

Aunque hemos introducido la simplificación adicional de ciertas condiciones y de estado estacionario, la idea básica de la redistribución actual entre el espacio intracelular e intersticial debe aplicarse bajo situaciones menos restrictivas. Parece trivial precisar que siempre que se estudie una región multicelular, su región intracelular y el comportamiento intersticial necesitan ser considerado debido a una discontinuidad posible a través de la membrana (denominado Vm). Esto es verdad si las fibras están consideradas como discretas o continuas.

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BIDOMINIO ISOTROPICO TRIDIMENSIONAL

Como otra ilustración del modelo del bidominio, se considera un volumen del músculo cardiaco y se asume que puede ser modelado como bidominio, que es uniforme e isotrópico. Por lo tanto, en lugar de las ecuaciones 1 y 2 podemos escribir:

${\vec {J}}_{i}=-\sigma _{i}^{b}\nabla \ \phi _{i}\quad \quad \quad \quad \quad (14)$

${\vec {J}}_{0}=-\sigma _{0}^{b}\nabla \ \phi _{0}\quad \quad \quad \quad \quad (15)$

Aquí el $\sigma _{i}^{b}\$ y $\sigma _{0}^{b}\$ tiene las dimensiones de la conductividad, y nos referimos a estas como las conductividades intracelulares e intersticiales isotrópicas del bidominio. Sus valores se pueden encontrar como sigue. Puesto que cada dominio debe llenar el espacio total del tejido fino, que es más grande que el espacio ocupado real, $\sigma _{i}^{b}\$ y $\sigma _{0}^{b}\$ son evaluadas como conductividades microscópicas asi $\sigma _{i}^{b}\$ y $\sigma _{0}^{b}\$ se multiplican por el cociente del volumen real total

$\sigma _{i}^{b}=\sigma _{i}\nu _{c}\quad \quad \quad \quad \quad (16)$

$\sigma _{o}^{b}=\sigma _{o}(1-\nu _{c})\quad \quad \quad \quad \quad (17)$

donde vc = la fracción del músculo ocupada por las células =( 0.70-0.85).

En estas ecuaciones la conductividad a la izquierda es una conductividad del bidominio (y realmente una conductividad en promedio que se podría medir solamente en una muestra adecuadamente grande del tejido fino), mientras que la función de la conductividad a la derecha es la conductividad (microscópica). Ahora la divergencia ${\vec {J}}_{0}\$ evalúa ordinariamente la densidad corriente de l transmembrane, pero deseamos incluir la posibilidad que una fuente actual (aplicada) del punto adicional sea introducido en el tejido fino. Si se asume que una fuente intersticial del punto de la fuerza Ia está puesta en el origen coordinado requiere

$\nabla \cdot {\bar {J_{o}}}=I_{a}\delta _{v}+I_{m}^{b}\quad \quad \quad \quad \quad (18)$

donde está una función delta el dv tridimensional de Dirac, define que

$\int \delta _{v}dV=\int \delta _{V}4\pi r^{2}dr$

$\int \delta _{v}dV=1$ si el volumen incluye el origen.

$\int \delta _{v}dV=0$ si el volumen excluye el origen.

La ecuación 18 reduce a la ecuación 3 si Ia = 0. Substituir la ecuación 15 en la ecuación 18 da

$-\tan ^{b\nabla }2Fo=Im^{b}+Ia\delta \varpi \quad \quad \quad \quad \quad (19)$

donde Im b = corriente del transmembrane por el volumen de unidad [µA/cm3].

También requerimos la conservación de la corriente (ecuación 3):

$\nabla \cdot {\bar {J_{i}}}=-Im^{b}\quad \quad \quad \quad \quad (20)$

y substituir la ecuación 14 en la ecuación 20 da

$\sigma _{i}^{b}\nabla ^{2}\Phi _{i}=I_{m}^{b}\quad \quad \quad \quad \quad (21)$

Ahora multiplicando la ecuación 19 por $\rho _{0}^{b}\$ (= 1/$\sigma _{0}^{b}$) y la ecuación 21 $\rho _{i}^{b}\$ (= 1/$\sigma _{i}^{b}$) y sumando resultados, conseguimos

$\nabla ^{2}(\Phi _{i}-\Phi _{0})=\nabla ^{2}V_{m}=(\rho _{i}^{b}+\rho _{0}^{b})I_{m}^{b}+\rho _{0}I_{a}\delta _{V}\quad \quad \quad \quad \quad (22)$

donde

bm= resistencia intracelular del bidominio [k•cm]

im= resistencia intersticial del bidominio [k•cm]

im= corriente de la transmembrana por el volumen de unidad [µA/cm³]

Bajo condiciones de estado estacionario, la capacitancia puede ser ignorada, y consecuentemente, la membrana sera puramente resistente. Si la proporción de la superficie del volumen de las célula es uniforme la corriente de estado estacionario de la transmembrana por unidad de volumen (Im Ex b) es:

$I_{m}^{b}={\frac {\chi V_{m}}{R_{m}}}={\frac {V_{m}}{\rho _{m}^{b}}}\quad \quad \quad \quad \quad (23)$

donde bm= corriente de la transmembrana por unidad de volumen [µA/cm³]

im= proporción superficie a volumen de la célula [1/cm]

Vm= voltaje de la membrana [mV]

Rm= tiempo de resistencia en la membrana por unidad de area [k•cm²]

y donde

$\rho _{m}^{b}={\frac {R_{m}}{\chi }}\quad \quad \quad \quad \quad (24)$

es el tiempo de resistencia de la membrana por unidad de volumen [k cm] (La variable $\rho _{m}^{b}\$ tiene las dimensiónes de resistividad, porque representa la contribución de las membranas a la resistencia de la salida de un medio incluyendo espacios intracelulares y extracelulares ). Substituir la ecuación 23 en la ecuación 22 da lugar a la ecuación diferencial deseada para la Vm, a saber

$\nabla ^{2}V_{m}={\frac {V_{m}}{\lambda ^{2}}}+\rho _{0}^{b}I_{a}\delta _{V}\quad \quad \quad \quad \quad (25)$

donde

$\lambda ={\sqrt {\frac {\rho _{m}^{b}}{\rho _{i}^{b}+\rho _{0}^{b}}}}\quad \quad \quad \quad \quad (26)$

La constante isotrópica tridimensional del espacio, definido por la ecuación 26, está en la misma forma y tiene la misma dimensión [cm] se evalua para las preparaciones unidimensionales descritas por la ecuacion 9

Debido a la simetría esférica, el Laplaciano de la Vm (en la ecuación 25) que esta en coordenadas esféricas tiene la forma

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\bigg (}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}{\bigg )}+{\frac {1}{r^{2}\sin \Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}{\bigg (}\sin \Theta {\frac {\partial }{\partial \Theta }}{\bigg )}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Phi }}$

contiene solamente una dependencia de r, de modo que se obtiene

${\frac {\partial ^{2}(rV_{m})}{\partial r^{2}}}={\frac {rV_{m}}{\lambda ^{2}}}+\rho _{0}^{b}rI_{a}\delta _{V}\quad \quad \quad \quad \quad (27)$

La solución cuando es r Diferente de 0

$V_{m}=K_{B}{\frac {e^{-r/\lambda }}{r}}\quad \quad \quad \quad \quad (28)$

Uno puede considerar la función $\delta _{V}\$ imponiendo una condición de límite constante en el origen. Con este punto de vista, el KB, en la ecuación 28, se elige de modo que el comportamiento de la Vm para cuando r tiende a 0 esté correcto. Esta condición es introducida integrando cada término en la ecuación.25 a través de un volumen esférico de radio r tienede a 0 centrado en el origen.La integral del volumen del término en el lado izquierdo de la ecuación 25 es realizado convirtiéndolo a un integral superficial usando el teorema de la divergencia del análisis del vector. Uno encuentra eso

$\int _{o}^{r}(\nabla ^{2}V_{m})4\pi _{r}^{2}dr=4\pi \int _{o}^{r}\nabla \cdot \nabla V_{m}r^{2}dr\quad \quad \quad (29)$

(El paso anterior es alcanzado substituyendo de la ecuación 28 para Vm.) Substituir la ecuación 28 para Vm en el segundo término de la ecuación 25 da

$\int _{o}^{r}{\frac {V_{m}}{\lambda ^{2}}}4\pi r^{2}dr=4\pi K_{B}\int _{o}^{r}re^{-r/\lambda }dr=0\quad \quad \quad \quad \quad (30)$

mientras que el tercer término

$\int _{o}^{r}\rho _{0}^{b}I_{a}4\pi r^{2}\delta _{V}dr=\rho _{0}^{b}I_{a}\quad \quad \quad \quad \quad (31)$

La ecuación 31 sigue de la definición de la función delta de Dirac $\delta _{V}\$ dado para la ecuación 18. Substituir las ecuaciones 29-31 en la ecuación 25 demuestra que la Vm tendrá el comportamiento correcto en la vecindad de r del origen si el KB satisface

$K_{B}={\frac {\rho _{0}^{b}I_{a}}{4\pi }}\quad \quad \quad \quad \quad (32)$

Substituir la ecuación32 en la ecuación 28 finalmente resulta en:

$V_{m}={\frac {\rho _{0}^{b}I_{a}}{4\pi }}{\frac {e^{-r/\lambda _{0}^{b}}}{r}}\quad \quad \quad \quad \quad (33)$

Si se define la función escalar $\Psi \$ como

$\Psi ={\frac {\rho _{0}^{b}\Phi _{i}}{\rho _{i}^{b}+\rho _{0}^{b}}}+{\frac {\rho _{i}^{b}\Phi _{0}}{\rho _{i}^{b}+\rho _{0}^{b}}}\quad \quad \quad \quad \quad (34)$

entonces, de las ecuaciones 19 y 21, tenemos

$\nabla ^{2}\Psi ={\frac {\rho _{0}^{b}\rho _{i}^{b}}{\rho _{i}^{b}+\rho _{0}^{b}}}I_{m}-{\frac {\rho _{0}^{b}\rho _{i}^{b}}{\rho _{i}^{b}+\rho _{0}^{b}}}I_{m}-{\frac {\rho _{0}^{b}\rho _{i}^{b}}{\rho _{i}^{b}+\rho _{0}^{b}}}I_{a}\delta _{V}\quad \quad \quad \quad \quad (35)$

Por lo tanto,

$\nabla ^{2}\Psi =-\rho _{t}^{b}I_{a}\delta _{V}\quad \quad \quad \quad \quad (36)$

donde

$\rho _{t}^{b}={\frac {\rho _{0}^{b}\rho _{i}^{b}}{\rho _{i}^{b}+\rho _{0}^{b}}}$

y el $\rho _{t}^{b}\$ es la impedancia total del tejido fino en ausencia de una membrana Se observa, en la ecuación 36, que satisface la ecuación de a (monodominio) ecuación dePoisson. De hecho, es el campo de un punto en el origen y se da por:

$\Psi ={\frac {\rho _{t}^{b}I_{a}}{4\pi r}}\quad \quad \quad \quad \quad (37)$

Desde $\ V_{m}=\Phi _{i}-\Phi _{0}\$, se puede expresar $\Phi _{i}o\Phi _{0}\$ en términos de Vm y $\Psi \$en la ecuación 34. El resultado es:

$\Phi _{i}={\frac {\rho _{i}^{b}}{\rho _{i}^{b}+\rho _{0}^{b}}}V_{m}+\Psi =-{\frac {\rho _{t}^{b}I_{a}}{4\pi }}{\frac {e^{-r/\lambda }}{r}}+{\frac {\rho _{t}^{b}I_{a}}{4\pi r}}\quad \quad \quad \quad \quad (38)$

$\Phi _{0}={\frac {\rho _{0}^{b}}{\rho _{i}^{b}+\rho _{0}^{b}}}V_{m}+\Psi =-{\frac {\rho _{t}^{b}\rho _{0}^{b}}{\rho _{t}^{b}}}{\frac {I_{a}}{4\pi }}{\frac {e^{-r/\lambda }}{r}}+{\frac {\rho _{t}^{b}I_{a}}{4\pi r}}\quad \quad \quad \quad \quad (39)$

donde las ecuaciones 33 y 37 fueron substituidas en la ecuación 38 y 39 para obtener las expresiones que seguían los segundos iguales. Este par de ecuaciones describe el comportamiento de los campos componentes. Se observa que la condición de límite Fi/$\partial$r = 0 en r tiende a 0 se satisface por la ecuación 9.38. Esta condición fue implicada en formular la ecuación 19, donde la corriente total de la fuente se describe como intersticial.

Cuadro 5. El método del Cuarto-electrodo para la determinación de la impedancia del tejido fino. El electrodo se encaja en el tejido fino. Los elementos externos llevan el ± actual aplicado Ia mientras que los elementos internos miden el voltaje que resulta (VZ = V1 - V2).

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MÉTODO DE LA IMPEDANCIA DE 4-ELECTRODOS APLICADO A UN BIDOMINIO ISOTRÓPICO

Para un tejido fino isotrópico homogéneo, la evaluación experimental de su resistencia se realiza a menudo usando el método de cuatro-electrodos (cuadro 5). En este método, cuatro electrodos equidistantes se insertan profundamente en el tejido fino. Asumimos que el grado total del sistema del electrodo es pequeño comparado a su distancia a un límite, para poder aproximar el conductor del volumen como ilimitado Los electrodos externos llevan una corriente aplicada (es decir, Ia e Ia) mientras que los electrodos internos miden el voltaje que resulta. La resistividad  se da por

$\rho ={\frac {4\pi dV_{Z}}{I_{a}}}\quad \quad \quad \quad \quad (40)$

Donde

Vz= voltaje medido

d= espaciamiento del interelectrodo

La ventaja en el uso del método del cuatro-electrodo se presenta de la separación de los circuitos actual-que conducen la medida del voltaje en el circuito. En este arreglo la impedancia desconocida en la interfaz del electrodo-tejido fino es importante solamente en el circuito que mide el voltaje, donde agrega un error insignificante que depende del cociente de la impedancia del electrodo a la impedancia de la entrada del amplificador Para un bidominio isotrópico el método del cuatro-electrodo también se puede utilizar para determinar.conductividades $\rho _{i}^{b}\$ intracelulares e intersticiales. En este caso, por lo menos dos observaciones independientes deben ser hechas puesto que hay dos desconocido. Si asumimos que una fuente actual de la fuerza Ia está puesta en el eje de z en una distancia de 3d/2 (es decir, en (0, 0, 1.5d)) y el origen de la fuerza Ia en (0, 0, -1.5d) (según lo descrito en la figura 9 donde está el espaciamiento d entre los electrodos adyacentes), después los campos eléctricos intersticiales que resultan se pueden calcular de la superposición que usa de la ecuació.39. Particularmente, estamos interesados en el voltaje (VZ) que sería medido por los electrodos del voltaje, donde

$V_{Z}=V_{1}-V_{2}=\Phi _{0}(0,0,0.5d)-\Phi _{0}(0,0,-0.5d)\quad \quad \quad \quad \quad (41)$

$V_{Z}^{S}={\frac {\rho _{t}^{b}\rho _{0}^{b}}{\rho _{i}^{b}}}{\frac {I_{a}}{4\pi }}{\frac {e^{-d/\lambda }}{d}}+{\frac {\rho _{t}^{b}I_{a}}{4\pi d}}-{\frac {\rho _{t}^{b}\rho _{0}^{b}}{\rho _{i}^{b}}}{\frac {I_{a}}{4\pi }}{\frac {e^{-2d/\lambda }}{2d}}-{\frac {\rho _{t}^{b}I_{a}}{4\pi (2d)}}\quad \quad \quad \quad \quad (42)$

Este resultado es, por supuesto, independientemente de la coordinación de origen, ya que se trata de una única entidad física. En correspondencia, el punto sumideros (es decir, la negativa de la fuente - Ia) aporta una cantidad VZ Exp k dada por

$V_{Z}^{k}={\frac {\rho _{t}^{b}\rho _{0}^{b}}{\rho _{i}^{b}}}{\frac {I_{a}}{4\pi }}{\frac {e^{-2d/\lambda }}{2d}}+{\frac {\rho _{t}^{b}I_{a}}{4\pi (2d)}}+{\frac {\rho _{t}^{b}\rho _{0}^{b}}{\rho _{i}^{b}}}{\frac {I_{a}}{4\pi }}{\frac {e^{-d/\lambda }}{d}}+{\frac {\rho _{t}^{b}I_{a}}{4\pi d}}\quad \quad \quad \quad \quad (43)$

Sumando las ecuaciones 42 y 43 campos y voltajes que pueden ser medidos y el voltaje de los electrodes a decir

$V_{Z}={\frac {\rho _{t}^{b}I_{a}}{4\pi d}}-{\frac {\rho _{t}^{b}\rho _{0}^{b}}{\rho _{i}^{b}}}{\frac {I_{a}}{4\pi }}{\frac {e^{-2d/\lambda }}{d}}+{\frac {\rho _{t}^{b}\rho _{0}^{b}}{\rho _{i}^{b}}}{\frac {I_{a}}{2\pi }}{\frac {e^{-d/\lambda }}{d}}\quad \quad \quad \quad \quad (44)$

o

$V_{Z}={\frac {\rho _{t}^{b}I_{a}}{4\pi d}}{\bigg [}1+{\frac {\rho _{0}^{b}}{\rho _{i}^{b}}}(2e^{-d/\lambda }-e^{-2d/\lambda }){\bigg ]}\quad \quad \quad \quad \quad (45)$

Si la medida de VZ y Ia estan dadas con d $\quad (l\gg \ 1)\$ entonces se acuerda para la ecuación.45, esta condición resultando para esta ecuación

$\rho _{t}^{b}={\frac {4\pi dV_{Z}}{I_{a}}}\quad \quad \quad (d\gg \lambda )\quad \quad \quad \quad \quad (46)$

Y la resistividad $(\rho _{t}^{b}=\rho _{0}^{b}\rho _{i}^{b}/(\rho _{0}^{b}+\rho _{i}^{b}))$ se obtiene si una segunda medida hecha esta dada con $(d\ll \lambda )$, entonces se tiene para la ecuación 45

$\rho _{0}^{b}={\frac {4\pi dV_{Z}}{I_{a}}}\quad \quad \quad (d\ll \lambda )\quad \quad \quad \quad \quad (47)$

La resistividad intersticial permite determinar $\rho _{0}^{b}\$ and $\rho _{0}^{b}\$. La interpretación de la medida de un cuarto electrodo depende de si el tejido es un monodominio o bidominio. Si se trata de un bidominio, entonces la interpretación del monodominio puede dar lugar a errores considerables, sobre todo para este tipo de situaciones la ecuación 45 debe ser utilizada si d $(d\ll \lambda )$ o para d aprox=$\lambda \$. Cuando el tejido es anisotrópico es importante usar la ecuación 45 en el modelo de análisis de las mediciones de cuatro electrodos.

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RESULTADOS INTERESANTES DEL MODELO DEL BIDOMINIO

Los modelos de bidominio pueden utilizarse para calcular la propagación de los potenciales de acción. Se ha investigado la influencia del daño tisular agudo producido por el continuo, sobre estímulos generados por la polarización de electrodos virtuales. Se utilizo el mapeo óptico fluorescente para obtener el estimulo inducido en la trasmembrana por el potencial de distribución en torno a un ritmo de electrodos aplicados a la superficie de un ventrículo. Sobre la base de estos datos, activos , pasivos y el modelo del bidominio tridimensional se construyeron VEP para determinar las pautas y los umbrales para las diferentes áreas de tamaño de la región dañada. Los resultados Electrofisiológicos mostraron un grave daño en el tejido llevado a la desaparición de VEP(polarización de electrodos virtuales) asociado con un aumento significativo en el ritmo umbrales. Los daños se expresaron en la electroporación de células y dentro de una disociación ~ 1,0 mm de diámetro alrededores de la punta del electrodo. Según las simulaciones por ordenador, la disociación de células, en lugar de electroporación, podría ser la causa directa de la eliminación y el aumento de VEP dependen del tamaño de la región dañada. La Fibra de rotación con la profundidad no afectaron sustancialmente los resultados numéricos. El estudio explica el fracaso de estimular los tejidos dañados dentro de los conceptos de la teoría VEP.

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Véase también

• Corazón
• Ley de Ohm
• Potencial eléctrico
• Gradiente

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Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre el corazón.
• Anatomía y fisiología del corazón Texas Heart Institute (español)
• Bioelectromagnetism