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La función parte entera, notada E o con corchetes, se define sobre el conjunto de los números reales así:

E(x) = [x], donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:

E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Ejemplos: [1,4] = 1, [π] = 3 pues 3 ≤ π < 4, y [-π] = -4 pues -4 ≤ -π < -3. Esta función no es por lo tanto par.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas.
Esta función no es continua en los números enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los intervalos abiertos ]n; n+1[ o (n; n + 1) donde es constante y vale n.

El complemento natural de la parte entera es la parte fraccionaria, o parte decimal, también llamada mantisa, este último término se emplea sobre todo con relación al logaritmo decimal; vale por definición frac(x) = x - [x], y su gráfico es una sucesión de segmentos inclinados de pendiente 1.

Es una función periódica, de período 1. La descomposición en parte entera y decimal es obvia en los números positivos: 1,732 = 1 + 0, 732 , mas no tanto en los negativos: - 2,23606 = - 3 + 0,76394.
En cuanto a las fracciones, la descomposición se hace mediante una división euclidiana:

${\frac {a}{b}}=q+{\frac {r}{b}}$ donde q y r son el cociente y el resto de a por b (con b > 0). Ejemplo: ${\frac {269}{99}}=2+{\frac {71}{99}}$

Como la división euclidiana se extiende a los polinomios, también lo hacen la parte entera y la fraccionaria. Por ejemplo:

${\frac {X^{2}-X+1}{X+1}}=(X-2)+{\frac {3}{X+1}}$ lo que es muy útil en el cálculo de las integrales y primitivas entre otras cosas.

Aquí la parte entera es un polinomio, fácil de integrar, y la otra parte una función racional de grado negativo, que también se sabe integrar, eso sí, con cálculos bastante más largos en general. En este ejemplo, una primitiva es ${\frac {X^{3}}{3}}+3\cdot \ln(X+1)$

La parte entera permite calcular el truncamiento de un real a cualquier orden mediante la fórmula: ${\frac {[10^{n}\cdot x]}{10^{n}}}$ .

El entero n es el número de decimales que se conservan, es decir que la precisión es de 10 ^{- n}: Por ejemplo, trunquemos la constante π con dos decimales: ${\frac {[100\cdot \pi ]}{100}}={\frac {314}{100}}=3,14$

Los valores negativos de n también son válidas, y dan truncamientos más imprecisos: con n = - 3 y x = 47604,67:

${\frac {[10^{-3}\times 47604,67]}{10^{-3}}}$$={\frac {[{\frac {47604,67}{1000}}]}{\frac {1}{1000}}}=[47,60467]\times 1000=47\times 1000=47000$

El redondeo usual, al entero más próximo, se define por [x + 0,5]. Así 6,4 se redondea a 6, mientras que 6,5 y 6,6 lo hacen a 7.
El redondeo con n decimales sigue la misma convención de cambiar a partir de la cifra 5 (incluida).
Su fórmula es parecida a la del truncamiento, con el oportuno desfase de 0,5: ${\frac {[10^{n}\cdot x+0,5]}{10^{n}}}$
Por ejemplo, para redondear e = 2, 7182818... a dos decimales:

${\frac {[100\cdot e]}{100}}={\frac {[271,8...+0,5]}{100}}={\frac {[272,3...]}{100}}={\frac {272}{100}}=2,72$

Ver la parte entera de x como el mayor entero menor o igual a x sugiere el concepto simétrico de el menor entero mayor o igual a x. Esto define la función techo, y para mayor coherencia, se renombra función piso a la parte entera.

Las notaciones que tienden a generalizarse son $\lfloor x\rfloor$ y $\lceil x\rceil$ para las funciones piso y techo respectivamente. Cuando x es entero coinciden: $\lfloor x\rfloor =\lceil x\rceil =[x]=x$ y cuando no, difieren de 1:$\lfloor x\rfloor <x<\lceil x\rceil =\lfloor x\rfloor +1$

Ejemplos: $-9=\lfloor -8,2\rfloor <-8,2<\lceil -8,2\rceil =-8$
            y :         $8=\lfloor 8,2\rfloor <8,2<\lceil 8,2\rceil =9$

Comparando las dos últimas líneas, se adivina la sigiente relación: $\lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor$, fácil de probar.

Para terminar, una curiosidad:
Puesto que la parte fraccionaria es discontinua en el conjunto de los enteros Z, la función x→frac(k·x) lo es en los $n \over k$, con n recorriendo Z.Usando y abusando de esta propiedad, se puede fabricar una función totalmente discontinua:

$g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {frac(2^{k}\cdot x)}{2^{k}}}$

Cada raya vertical corresponde a una discontinuidad (sólo se ven las mayores), y en todo rigor no debería ser trazada. Esta curva tiene además la propiedad de ser un fractal.

Autor: M.Romero Schmidtke