Usuario:MRS~eswiki/números perfectos, amigos y sociables

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La aritmética permite, a partir de conceptos muy sencillos (aquí: la divisibilidad de los enteros) plantearse problemas a la vez lúdicos y muy difíciles de resolver. Es el caso de los números perfectos, amigos y sociables.

Sea n un número natural no nulo. Consideremos sus divisores propios, es decir positivos y distintos del número mismo. Luego calculemos la suma de estos divisores, s(n) (s como suma). El aficionado a los juegos matemáticos se preguntará naturalmente ¿ Existe una relación entre esta suma y el número inicial ?

Para averiguarlo, tanteamos el terreno:
Con n = 20: Los divisores propios de 20 son 1, 2, 4, 5 y 10. s(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22. Como el resultado es mayor que el número inical, se dice que 20 es un número abundante.

Otro ensayo: ¿ Porque no tomar el resultado anterior ? s(22) = 1 + 2 + 11 = 14, la suma es menor que el número escogido; se dice que 22 es un número defectivo.
Seguimos: s(14) = 1 + 2 + 7 = 10; luego s(10) = 1 + 2 + 5 = 8; s(8) = 1 + 2 + 4 = 7; s(7) = 1 porque 7 es primo, y s(1) = 0 porque 1 no tiene divisor propio, y como 0 tampoco, el cálculo se para.
Se ha obtenido así una sucesión finita: 20 → 22 → 14 → 10 →8 → 7 → 1 → 0.

Otra sucesión es : 24 → 36 → 55 → 17 → 1 → 0.

Parece que sin efectuar el cálculo efectivo, es difícil saber si s(n) es o no mayor que n.

Para eludir el problema se puede cambiar de enfoque y considerar las sucesiones obtenidas: ¿ Son siempre finitas (acabadas por cero) ? A priori, pueden haber tres comportamientos bien distintos:

Es finita.
Es infinita y es periódica a partir de un cierto rango
Es infinita y no es periódica a partir de un cierto rango.

En este último caso, la sucesión tiende forzosamente hacia el infinito, por « agotar » a los pequeños números. Este caso sería muy difícil de establecer rigurosamente; las sucesiones sobre los enteros definidas por inducción dan lugar a muchos problemas abiertos de la aritmética, donde además de no conocer la respuesta, ni se tiene una idea de como arrancar la demostración. Los más pesimistas hablan de aserciones indecidibles, que no se pueden demostrar ni su veracidad ni su falsedad.

La sucesión que empieza por 276 da la impresión de tender hacia el infinito (níngun ordenador ha sido capaz de alcanzar su hipotético fin), y por lo tanto pertenecer al tercer caso.

El segundo caso es mucho más accesible: El período puede ser de longitud 1 (es decir que un sólo número se repite):
a → b → c→ ... → n → n → n → ...
Entonces s(n) = n, lo que da lugar a esta definición:

Se llama número perfecto un entero positivo igual a la suma de sus divisores propios

Los primeros números perfectos son el 6 y el 28, conocidos desde la Grecia Antigua, y los siguientes son 496 y 8128.
En efecto: s(6) = 1 + 2 + 3 = 6; s(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28; y 496 = 16·31 = 2⁴·31 y sus divisores propios son 1, 2, 2², 2³, 2⁴, 31, 31·2, 31·2², 31·³ y suman 496.
Si se mira las descomposiciones de estos tres enteros perfectos, se nota una fuerte semejanza: 6 = 2·3; 28 = 4·7 y 496 = 16·31 son todos de la forma 2^p·(2^p+1-1) este último factor siendo primo.
Los primos de la forma M = 2^p+1-1 reciben el nombre de números primos de Mersenne, y los mayores primos conocidos son de esta forma. Es facil constatar que si M es de esta clase entonces n = M·(M-1)/2 es un entero perfecto.
En efecto n = 2^p·M y tiene como divisores propios 1, 2, 4, ... 2^p, y los mismos multiplicados por M excepto el último que no es propio porque vale n.
Su suma es, factorizando, (1 + 2 + 4 ... + 2^p)·(M + 1) – n = (2^p+1 -1)·(M+1) - n = M ·(M + 1) – n = 2n – n = n.

Euclides fue el primero en probarlo, en el siglo IV a. C., y Euler demostró que todos los pares perfectos son de esta forma (por ejemplo 8128 = 2⁶·(2⁷ - 1). Como consecuencia, la escritura decimal de un perfecto par sólo puede acabar por un 6 ó un 8.
Nunca se han encontrado perfectos impares y se supone que no existen pero no se ha podido establecerlo.

El período de la sucesión puede ser dos (dos números se repiten): a → b → c→ ... → n → m → n → m → ...
Entonces s(n) = m, y s(n) = m lo que da lugar a esta definición:

Se llaman números amigos dos enteros positivos tales que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro.

Por ejemplo 220 → 284 → 220 → 284 → ...
En efecto: s(220) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 y s(284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Este par de números amigos se descubrieron muy temprano: La biblia alude a ellos, y los discpulos de Pitágoras les atribuían propiedades místicas. En la Edad Media, existió la creencia de que si se daba de comer a dos personas (al mismo tiempo pero no en el mismo lugar) sendos alimentos que contenían una inscripción 220 para uno y de 286 para el otro, entonces se volvían amigos por arte de magia.

Los siguientes pares de enteros amigos son (1184; 1210), (2620; 2924), (5020; 5564) y (6232; 6368), y luego se vueven menos accesibles: (17 296; 18 416) y (9 363 584; 9 437 056) ... estos dos últimos fueron descubiertos por el matemático árabe Tabit ibn Qurra en el siglo IX a. C., que encontró la fórmula:

Si p, q y r son primos de la forma p = 3·2^n-1 - 1 ; q = 3·2ⁿ - 1 y r = 3²·2^2n-1- 1, entonces 2ⁿ·p·q y 2ⁿ·r son amigos (con n>1).

Euler generalizó está fórmula. Otros matemáticos versados en el tema fueron los árabes Al Madshriti y Al Bagdadi alrededor del año 1100, y el francés René Descartes en el siglo XVII.

Si el período de la sucesión es mayor que dos:

n₁ → n₂ → n₃→ ... → n_p → n₁ → n₂ → ...

se llaman números sociables estos enteros. Los más sencillos (con los enteros más pequeños) son:

12 496 → 14 288 →15 472 → 14 536 → 14 264 → ... de cinco términos,

hay otro de veintiocho términos, y este de cuatro:

1 264 460 → 1 547 860 →1 727 636 → 1 305 184 → ...

Fueron hallados en el siglo XX por Pouchet y el último por Bohro en 1969.

A continuación una programa en Mapple que permite construir por si mismo estas sucesiones.

f := proc(n::nonnegint)
local j, s, i;

j:=isqrt(n);

s:=1;

if n<j^2 then j := j - 1 end if;

for i from 2 to j do if irem(n,i) = 0 then s := s + i + n/i end if end do;

if n = j^2 then s := s - j end if;

return s

end proc

Esta función calcula s(n).

g := proc(n::nonnegint)
local a;

a := n;

while 1<a do

a := f(a);

print(a);

if a < n then print("número menor - ya visto "); return end if;

if a = n then print("bucle"); return end if;

end do

end proc

Esta función calcula la sucesión de los s(n), y se para cuando obtiene el número inicial (para evitar quedar atrapada en un bucle) o cuando obtiene un número inferior que el inicial, porque se supone que ya se han visto las sucesiones que empiezan por números menores. En esta función nos se quiere detectar las sucesiones periódicas o que tienden hacia infinito (los casos 2 y 3).

h := proc(y, z::nonnegint)
local k;

for k from y to z do

print("número");

print(k);

g(k) end do

end proc

Esta función permite calcular las sucesiones que empieza por los números de y a z, con y < z.

Autor: M.Romero Schmidtke