Teorema de la intersección de Cantor
El teorema de la intersección de Cantor refiere a dos teoremas estrechamente relacionados topología general y análisis real, nombrado en honor a Georg Cantor, en relación con intersecciones de secuencias anidadas de conjuntos compactos no vacíos.
Enunciación topológica
editarTeorema. Sea S un espacio topológico. Una secuencia anidada decreciente de subconjuntos no vacíos cerrados y compactos de S tiene una intersección no vacía. En otras palabras, suponiendo que es una secuencia de subconjuntos no vacíos compactos y cerrados de S que satisface
resulta que
Nota: Podemos abandonar la condición de cerrado en situaciones donde cada subconjunto compacto de S es cerrado; por ejemplo, cuando S es un espacio de Hausdorff.
Demostración. Supóngase por contradicción que . Para cada k, sea . Como y , se tiene que . Nótese que como son cerradas relativamente a S y, por lo tanto, también cerradas relativamente a , la , su conjunto complementa , son abiertos relativamente a .
Como es compacto, is an open cover (en ) de , se puede extraer una tapa finita . Sea . Entonces ya que , por la hipótesis de anidamiento de la colección . Consecuentemente, , pero entonces , contradiciéndose. ∎
Referencias
editar- Weisstein, Eric W. «Cantor's Intersection Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Jonathan Lewin. An interactive introduction to mathematical analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01718-1. Sección 7.8.