Teorema de la PAQ-reducción

El teorema de la $PAQ$ -reducción afirma que dada una matriz $A$ de orden $m\times n$ existen dos matrices cuadradas $P$ de orden $m$ y $Q$ de orden $n$ tales que $PAQ$ es una matriz que depende de la dependencia o independencia lineal de las filas y columnas de $A$ .^[1]

El teorema garantiza la existencia de las matrices $P$ y $Q$ , y, dicho de otro modo, la matriz producto $PAQ$ es una matriz que está formada por un bloque con la matriz identidad y ceros a la derecha y debajo. Es decir, es de la forma

$PAQ=\left({\begin{array}{c|c}\operatorname {Id} _{r}&0\\\hline 0&0\end{array}}\right)\in {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} ),$

donde $\operatorname {Id} _{r}$ denota la matriz identidad de orden $r$ .

El tamaño de la matriz identidad depende de $A$ , de la dependencia de las filas y columnas, es decir, que el rango de $A$ es $r$ .^[1]

Cálculo de $P$ y $Q$

Para realizar el cálculo de $P$ y $Q$ hay que seguir lo siguiente:

Se coloca $A$ junto a la matriz identidad a la derecha, y se realizan cambios por filas hasta que quede reducida por filas. La matriz resultante (que inicialmente era la identidad) es la matriz $P$ :

$(A\mid \operatorname {Id} _{m})\sim (A'\mid P)$

Con la matriz reducida por filas, se coloca la matriz identidad debajo, y se realizan cambios esta vez por columnas. En ese paso debería quedar la matriz escalonada reducida. La matriz resultante de haber realizado estos cambios (inicialmente la identidad) es $Q$ :

$\left({\begin{array}{cc}A'\\\hline \operatorname {Id} _{n}\end{array}}\right)\sim \left({\begin{array}{cc}A''\\\hline Q\end{array}}\right)$

Observación: $P$ y $Q$ no son únicas.

Por ejemplo, si $A\in {\mathcal {M}}_{n\times n}(\mathbb {K} )$ , $A\neq \operatorname {Id} _{n}$ , es invertible, podemos escoger $P=A^{-1}$ y $Q=\operatorname {Id} _{n}$ o $P=\mathrm {Id} _{n}$ y $Q=A^{-1}$ y obtenemos dos $PAQ$ -reducciones diferentes para $A$ .