Teorema de Tunnell

resolución del problema de los números congruentes

En teoría de números, el teorema de Tunnel[1]​ da una resolución parcial al problema de los números congruentes, y bajo la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, una resolución completa. Debe su nombre al matemático estadounidense Jerrold B. Tunnell (1950-2022).

Problema de los números congruentes

editar

El problema de los números congruentes pregunta qué número natural puede ser el área de un triángulo rectángulo con los tres lados racionales. El teorema de Tunnell relaciona esta cuestión con el número de soluciones enteras de algunas ecuaciones diofánticas bastante simples.

Teorema

editar

Para un entero libre de cuadrados n dado, se define[1]

 

El teorema de Tunnell establece que suponiendo que n es un número congruente, si n es impar entonces 2An = Bn y si n es par entonces 2Cn = Dn. Por el contrario, si la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer se cumple para las curvas elípticas de la forma  , estas igualdades son suficientes para concluir que n es un número congruente.

Historia

editar

El teorema lleva el nombre de Jerrold B. Tunnell, un teórico de números en Universidad Rutgers, que lo demostró en Tunnell (1983).

Importancia

editar

La importancia del teorema de Tunnell es que el criterio que da es comprobable mediante un cálculo finito. Por ejemplo, para un   dado, los números   se pueden calcular buscando exhaustivamente en   en el rango  .

Véase también

editar

Referencias

editar
  1. a b Judith D. Sally (2007). Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems. American Mathematical Soc. pp. 119 de 338. ISBN 9780821872673. Consultado el 30 de septiembre de 2022. 

Bibliografía

editar