Teorema de Pickands-Balkema-de Haan

El teorema de Pickands-Balkema-De Haan, frecuentemente denominado segundo teorema de la teoría de valores extremos, proporciona la distribución asintótica de la cola de una variable aleatoria, cuando se desconoce su verdadera distribución. A menudo se le llama el segundo teorema en la teoría de valores extremos. A diferencia del primer teorema (el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko), que se refiere al máximo de una muestra, el teorema de Pickands-Balkema-De Haan describe los valores por encima de un umbral.

El teorema debe su nombre a los matemáticos James Pickands, Guus Balkema y Laurens de Haan.

Función de distribución condicional del exceso

Para una función de distribución desconocida $F$ de una variable aleatoria $X$, el teorema de Pickands-Balkema-De Haan describe la función de distribución condicional $F_{u}$ de la variable $X$ por encima de un cierto umbral $u$. Esta es la llamada función de distribución condicional del exceso de distribución, definida como

$F_{u}(y)=\mathbb {P} (X-u\leq y|X>u)={\frac {F(u+y)-F(u)}{1-F(u)}}$

para $0\leq y\leq x_{F}-u$, donde $x_{F}$ es el extremo derecho finito o infinito de la distribución subyacente $F$. La función $F_{u}$ describe la distribución del valor excedente sobre un umbral $u$, dado que se supera el umbral.

Enunciado

Sea $F_{u}$ la función de distribución condicional del exceso. Pickands,​ Balkema y De Haan ​ planteó que para una gran clase de funciones de distribución subyacentes $F$, y grandes $u$, $F_{u}$ se aproxima bien por la distribución generalizada de Pareto, en el siguiente sentido. Supongamos que existen funciones $a(u),b(u)$, con $a(u)>0$ tales que $F_{u}(a(u)y+b(u))$ como $u\rightarrow \infty$ convergen a una distribución no degenerada, entonces dicho límite es igual a la distribución generalizada de Pareto:

$F_{u}(a(u)y+b(u))\rightarrow G_{k,\sigma }(y),{\text{ as }}u\rightarrow \infty$

Dónde

• $G_{K,\sigma }(Y)=1-(1+ky/\sigma )^{-1/k}$, si $K\neq 0$
• $G_{K,\sigma }(Y)=1-e^{-y/\sigma }$, si $K=0.$

Aquí σ   >  0, y y  ≥  0 cuando k  ≥  0 y 0  ≤  y  ≤  &menos; σ /k cuando k  < 0. Estos casos especiales también se conocen como:

• Distribución exponencial con media $\sigma$, if k =  0,

• Distribución uniforme en $[0,\sigma ]$, si k = -1,

• Distribución de Pareto, si k  > 0.

La clase de funciones de distribución subyacentes $F$ están relacionadas con la clase de las funciones de distribución $F$ satisfacen el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko.​

Dado que un caso especial de la distribución generalizada de Pareto es una ley de potencias, el teorema de Pickands-Balkema-De Haan se utiliza a veces para justificar el uso de una ley de potencias para modelar eventos extremos.

El teorema se ha extendido para incluir una gama más amplia de distribuciones.​​ Mientras que las versiones extendidas cubren, por ejemplo, las distribuciones normal y log-normal, las distribuciones siguen siendo continuas existen que no están cubiertos.​

Véase también

• Distribución estable

Referencias

Bibliografía

• Balkema, A.; de Haan, Laurens (1974). "Residual life time at great age", Annals of Probability, 2, 792–804.
• Pickands, J. (1975). "Statistical inference using extreme order statistics", Annals of Statistics, 3, 119–131.

• Datos: Q7190748