Teorema de Lucas

En teoría de números, el teorema de Lucas caracteriza el residuo del coeficiente binomial ${\binom {m}{n}}$ cuando este es dividido por un número primo $p$. Fue enunciado por primera vez en 1878 en una publicación del matemático Édouard Lucas, aunque no demostró el resultado.​​ El teorema de Lucas tiene muchas aplicaciones, como explicar la naturaleza fractal de los coeficientes binomiales módulo $p$.​

Enunciado

Sean $m$ y $n$ números enteros no negativos y $p$ un número primo. Entonces, tenemos la siguiente relación de congruencia:

${\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}},$

donde

$m=m_{k}p^{k}+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots +m_{1}p+m_{0},$

y

$n=n_{k}p^{k}+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots +n_{1}p+n_{0}$

son las expansiones de $m$ y $n$ en base $p$. Se utiliza la convención que ${\binom {m}{n}}=0$ si $m<n$.

Demostración

El teorema de Lucas tiene distintas demostraciones, pero una prueba clásica sigue el siguiente esquema:

1. Primero, se demuestra que ${\binom {p}{k}}\equiv 0({\text{mod}}\;p)$ a menos que $k=0$ o $k=p$.
2. Luego, se puede demostrar que ${\binom {p+r}{k}}\equiv {\binom {r}{k\;({\text{mod}}\;p)}}({\text{mod}}\;p)$ para $0\leq r\leq p-1$.
3. Luego, se puede demostrar que ${\binom {2p}{p}}\equiv 2({\text{mod}}\;p)$.
4. Se puede demostrar la siguiente relación ${\binom {m_{1}p+m_{0}}{n_{1}p+n_{0}}}\equiv {\binom {m_{1}}{n_{1}}}{\binom {m_{0}}{n_{0}}}({\text{mod}}\;p)$, específicamente si se toma $a_{0}=0$ y luego se utiliza el argumento de recursión para la fórmula general.
5. Utilizando inducción, si $m=m_{k}p^{k}+m_{k-1}p^{k-1}+\dots +m_{1}p+m_{0}$ y $n=n_{k}p^{k}+n_{k-1}p^{k-1}+\dots +n_{1}p+n_{0}$, se concluye ${\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}({\text{mod}}\;p)$.

Aplicaciones

El Triángulo de Sierpinski está indirectamente relacionado al teorema de Lucas. Nota que los coeficientes binomiales se utilizan para generar el Triángulo de Pascal. A su vez, si consideramos el triángulo de pascal módulo $p$, podemos explicar la naturaleza fractal de los coeficientes binomiales utilizando el teorema de Lucas.​ Por ejemplo, si se toma el Triángulo de Pascal módulo 2, todo número impar correspondería a 1, mientras que todo número par correspondería a 0. De aquí, codificamos todas las entradas del Triángulo de Sierpinski a 1 si el número es impar y 0 si el número es par. Al final, lograremos observar que el triángulo de pascal y triángulo de Sierpinski son prácticamente idénticos.​

Enlaces externos

• Lucas's Theorem, PlanetMath (en inglés)
• Andrew Granville. The Arithmetic Properties of Binomial Coefficients ("Las propiedades aritméticas de los coeficientes binomiales", en inglés).

• Datos: Q1186808