Teorema de Euler sobre funciones homogéneas

El teorema de Euler sobre funciones homogéneas es una caracterización de las funciones homogéneas.

Enunciado

Una función $f=f(x,y,z)\,$ se dice función homogénea de grado k si para cualquier valor arbitrario $\lambda \,$:

$f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z)\,$

Si una función $\scriptstyle f=f(x,y,z)$ es una función homogénea de grado k podemos afirmar que:

$x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}+z{\frac {\partial f}{\partial z}}=kf$

Es decir, de manera más simplificada:

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=kf$

Demostración

Escribiendo $\scriptstyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ y $\scriptstyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$

$f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$

diferenciando la ecuación con respecto a $\alpha \,$ encontramos, aplicando la regla de la cadena, que

${\frac {\partial f(\alpha \mathbf {x} )}{\partial \alpha }}={\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left(\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )\right)\qquad \Rightarrow$

${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )$

Así que:

$x_{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x_{n}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )$

En concreto, eligiendo $\alpha =1$, la anterior ecuación puede reescribirse como:

$\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} ),\qquad \qquad \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$,

lo cual prueba el resultado.

Para una demostración del recíproco, ver [1].

• Supongamos que $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden $\partial f/\partial x_{i}$ son funciones homogéneas de grado k-1.

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ y diferenciado la ecuación

$f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$

con respecto a $x_{i}\,$, encontramos por la regla de la cadena que:

${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(\alpha x_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(x_{i})$

Y por tanto:

$\alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$

Y finalmente:

${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$

Aplicaciones del teorema

Aplicaciones en termodinámica

Si la función de estado termodinámica es:

• Homogénea de grado 1: función de variables extensivas : $\sum _{i=1}^{n}x_{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=f$
• Homogénea de grado 0: función de variables intensivas : $\sum _{i=1}^{n}x_{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=0$

Bibliografía

• Curso de Termodinámica José Aguilar Peris
• Apuntes de la asignatura Fundamentos de termodinámica Grado de Física, Universidad de Santiago de Compostela, España

• Datos: Q3526987