Teorema de los círculos de Descartes

En geometría, el teorema de los círculos de Descartes establece la relación entre cuatro círculos tangentes entre sí por medio de su curvatura.

Círculos tangentes: dados tres círculos mutuamente tangentes (negro), encontrar el radio del cuarto círculo. En general hay dos soluciones posibles (rojo).

Historia

Este problema geométrico ha sido abordado por milenios. En la Grecia Antigua, del siglo III a. C. Apolonio de Perga dedicó un libro entero al tema, lamentablemente el libro llamado Sobre tangencias, no está entre sus obras sobrevivientes. En él se describía el que será el tamiz de Apolonio.

René Descartes abordó el problema en 1643, en una carta a la princesa Isabel de Bohemia y del Palatinado. Da una solución al problema, y por lo tanto, se atribuye su nombre al teorema.

Frederick Soddy redescubrió en 1936 la solución, por lo cual, este problema es a veces conocido como los círculos besadores de Soddy , porque Soddy escogió para publicar su versión del teorema en la forma de un poema titulado The Kiss Precise, publicado en la revista Nature (20 de junio de 1936). Soddy también extendió el teorema a las esferas; y Thorold Gosset amplió el teorema a dimensiones arbitrarias.

Definición de curvatura

El teorema es más fácil de enunciar en términos de la curvatura de los círculos. La curvatura de un círculo se define como $k=\pm {\cfrac {1}{r}}$, donde r es el radio: cuanto mayor sea el círculo, menor será su curvatura, y viceversa.

El signo (+) en la curvatura se aplica a un círculo que es tangente exterior a los demás círculos, al igual que los tres círculos (negros) en la imagen. Internamente tangente de un círculo como el gran círculo (rojo), que circunscribe a los demás círculos, se aplica el signo (-).

Si se considera una línea recta como un círculo degenerado de curvatura k = 0, el teorema es igualmente aplicable.

Teorema

Si cuatro círculos son mutuamente tangentes de curvatura k_i (para cada i = 1,...,4), el teorema dice:

$(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}).$

Al tratar de encontrar el radio del cuarto círculo tangente a los otros tres círculos, la ecuación se reescribe como:

$k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}.$

El signo ± refleja que en general existen dos soluciones, criterios externos pueden favorecer una solución sobre la otra en un determinado problema.

Véase también

• Sexteto de Soddy

• Datos: Q1196538
• Multimedia: Descartes' theorem / Q1196538