Teorema de Brunn-Minkowski

En matemáticas, el teorema de Brunn-Minkowski (o desigualdad de Brunn-Minkowski) es una desigualdad que relaciona los volúmenes (o más generalmente medidas de Lebesgue) de subconjuntos compactos del espacio euclidiano. La versión original del teorema de Brunn-Minkowski (Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) se aplicó a conjuntos convexos; la generalización a conjuntos compactos no convexos que se indica aquí se debe a Lazar Lyusternik (1935).

Enunciado

Sea n ≥ 1 y sea μ la medida de Lebesgue en Rⁿ. Sean A y B dos subconjuntos compactos no vacíos de Rⁿ. Entonces se cumple la siguiente desigualdad:

$[\mu (A+B)]^{1/n}\geq [\mu (A)]^{1/n}+[\mu (B)]^{1/n},$

donde A + B denota la suma de Minkowski:

$A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.$

Observaciones

La demostración del teorema de Brunn-Minkowski establece que la función

$A\mapsto [\mu (A)]^{1/n}$

es cóncavo en el sentido de que, para cada par de subconjuntos compactos no vacíos A y B de R ⁿ y cada 0 ≤ t ≤ 1,

$\left[\mu (tA+(1-t)B)\right]^{1/n}\geq t[\mu (A)]^{1/n}+(1-t)[\mu (B)]^{1/n}.$

Para los conjuntos convexos A y B de medida positiva, la desigualdad en el teorema es estricta para 0 < t <1 a menos que A y B sean homotéticos positivos, es decir, sean iguales hasta la traslación y dilatación por un factor positivo.

Véase también

• Desigualdad isoperimétrica
• Desigualdad inversa de Brunn-Minkowski de Milman
• Fórmula de Minkowski-Steiner
• Desigualdad Prékopa-Leindler
• Desigualdad aleatoria de Brunn-Minkowski de Vitale
• Volumen mixto

Referencias

• Brunn, H. (1887). Über Ovale und Eiflächen. Inaugural Dissertation, München. 
• Fenchel, Werner; Bonnesen, Tommy (1934). Theorie der konvexen Körper. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Berlin: 1. Verlag von Julius Springer. 
• Fenchel, Werner; Bonnesen, Tommy (1987). Theory of convex bodies. Moscow, Idaho: L. Boron, C. Christenson and B. Smith. BCS Associates. 
• Dacorogna, Bernard (2004). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2.  Dacorogna, Bernard (2004). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2.  Dacorogna, Bernard (2004). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2. 
• Heinrich Guggenheimer (1977) Geometría aplicable, página 146, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
• Lyusternik, Lazar A. (1935). «Die Brunn–Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de l'URSS. Nouvelle Série III: 55-58. 
• Minkowski, Hermann (1896). Geometrie der Zahlen. Leipzig: Teubner. 
• Ruzsa, Imre Z. (1997). «The Brunn–Minkowski inequality and nonconvex sets» 67 (3). pp. 337-348. doi:10.1023/A:1004958110076. 
• Rolf Schneider, Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

• Datos: Q3915398