Teorema de Brunn-Minkowski

teorema geométrico

En matemáticas, el teorema de Brunn-Minkowski (o desigualdad de Brunn-Minkowski) es una desigualdad que relaciona los volúmenes (o más generalmente medidas de Lebesgue) de subconjuntos compactos del espacio euclidiano. La versión original del teorema de Brunn-Minkowski (Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) se aplicó a conjuntos convexos; la generalización a conjuntos compactos no convexos que se indica aquí se debe a Lazar Lyusternik (1935).

Enunciado

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Sea n ≥ 1 y sea μ la medida de Lebesgue en Rn. Sean A y B dos subconjuntos compactos no vacíos de Rn. Entonces se cumple la siguiente desigualdad:

 

donde A + B denota la suma de Minkowski:

 

Observaciones

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La demostración del teorema de Brunn-Minkowski establece que la función

 

es cóncavo en el sentido de que, para cada par de subconjuntos compactos no vacíos A y B de R n y cada 0 ≤ t ≤ 1,

 

Para los conjuntos convexos A y B de medida positiva, la desigualdad en el teorema es estricta para 0 < t <1 a menos que A y B sean homotéticos positivos, es decir, sean iguales hasta la traslación y dilatación por un factor positivo.

Véase también

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Referencias

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  • Brunn, H. (1887). Über Ovale und Eiflächen. Inaugural Dissertation, München. 
  • Fenchel, Werner; Bonnesen, Tommy (1934). Theorie der konvexen Körper. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Berlin: 1. Verlag von Julius Springer. 
  • Fenchel, Werner; Bonnesen, Tommy (1987). Theory of convex bodies. Moscow, Idaho: L. Boron, C. Christenson and B. Smith. BCS Associates. 
  • Dacorogna, Bernard (2004). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2.  Dacorogna, Bernard (2004). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2.  Dacorogna, Bernard (2004). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2. 
  • Heinrich Guggenheimer (1977) Geometría aplicable, página 146, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
  • Lyusternik, Lazar A. (1935). «Die Brunn–Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de l'URSS. Nouvelle Série III: 55-58. 
  • Minkowski, Hermann (1896). Geometrie der Zahlen. Leipzig: Teubner. 
  • Ruzsa, Imre Z. (1997). «The Brunn–Minkowski inequality and nonconvex sets» 67 (3). pp. 337-348. doi:10.1023/A:1004958110076. 
  • Rolf Schneider, Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.