Existen numerosas formas de multiplicar dos vectores. El producto escalar opera dos vectores y devuelve un escalar, mientras que el producto vectorial[2] devuelve un vector axial. Ambos tienen varias interpretaciones geométricas importantes y se utilizan ampliamente en matemáticas, física e ingeniería. El producto diádico toma dos vectores y devuelve un tensor de segundo orden, denominado tensor diádico, que se puede utilizar para contener información física o geométrica, aunque en general no existe una forma directa de interpretar esta información geométricamente.
El producto diádico es distributivo respecto a la adición de vectores y asociativo con respecto a la multiplicación escalar. Por lo tanto, el producto diádico es lineal con respecto a ambas operaciones. En general, se pueden sumar dos tensores diádicos para obtener otro tensor diádico, y se puede multiplicarlos por un números para escalar sus componentes. Sin embargo, el producto de tensores diádicos no es conmutativo; cambiar el orden de los vectores da como resultado tensores diádicos diferentes.
El formalismo del álgebra diádica es una extensión del álgebra vectorial para incluir el producto diádico de vectores. El producto diádico también es asociativo con los productos escalar y vectorial con respecto a otros vectores, lo que permite combinar los productos escalar, vectorial y diádico para obtener otros escalares, vectores o tensores diádicos.
También comparte algunos aspectos con el álgebra matricial, ya que los componentes numéricos de los vectores se pueden organizar en vectores fila o en vectores columna, y los de tensores de segundo orden en matrices cuadradas. Además, los productos escalar, vectorial y diádico se pueden expresar en forma matricial. Las expresiones diádicas pueden parecerse mucho a sus equivalentes matriciales.
El producto escalar de un tensor diádico con un vector da otro vector, y al tomar el producto escalar de este resultado se obtiene un escalar derivado del tensor diádico. El efecto que tiene un tensor diádico determinado sobre otros vectores puede proporcionar interpretaciones físicas o geométricas indirectas.
En este artículo, las variables en mayúsculas y negrita denotan tensores diádicos, mientras que las variables en minúsculas y negrita denotan vectores. Una notación alternativa utiliza barras superiores o inferiores dobles y simples, respectivamente.
Se denomina díada a un tensor de orden dos y de rango uno, y es el producto diádico de dos vectores (vectores complejos con carácter general), mientras que un diádico es un tensor general de orden dos (que puede ser de rango completo o no).
Existen varios términos y notaciones equivalentes para este producto:
El producto diádico de dos vectores y se denota por (yuxtapuesto; sin símbolos intermedios como signos de multiplicación, cruces, puntos u otros)
En el contexto diádico, todos tienen la misma definición y significado, y se usan como sinónimos, aunque la denominación producto tensorial es un ejemplo del uso más general y abstracto del término.
sean dos vectores, en los que i, j, k (también denominados e1, e2, e3) son una base estándar en este espacio vectorial (véase también coordenadas cartesianas). Entonces, el producto diádico de a y b se puede representar como una suma de componentes:
o por extensión de vectores fila y columna, una matriz de orden 3×3 (también el resultado del producto exterior o producto tensorial de a y b):
Una díada es un componente de un tensor diádico (un monomio de la suma o, equivalentemente, una entrada de la matriz): el producto diádico de un par de basesmultiplicado escalarmente por un número.
Así, como los vectores de la base estándar (y unitarios) i, j, k, tienen las representaciones:
(que se pueden transponer), las díadas de base estándar (y unidad) tienen la representación:
A continuación se facilita un ejemplo numérico simple en la base estándar:
donde ei y ej son los vectores de la base canónica en N dimensiones (el índice i en ei selecciona un vector, no un componente del vector como en ai), entonces en forma algebraica su producto diádico es:
Esto se conoce como la "forma noión" de un tensor diádico. Su producto externo/tensor en forma matricial es:
Un polinomio diádicoA, también conocido como diádico, se forma a partir de múltiples vectores ai y bj:
Un diádico que no puede reducirse a una suma de menos de N díadas se dice que es completo. En este caso, los vectores que lo forman no son coplanarios (véase Chen (1983)).
y entonces la segunda definición posible del producto escalar doble es como la primera, pero con una transposición adicional en el segundo diádico. Por estas razones, se prefiere la primera definición del producto escalar doble, aunque algunos autores todavía utilizan la segunda.
Se puede ver que, para cualquier díada formada a partir de dos vectores a y b, su producto vectorial doble es cero.
Sin embargo, por definición, un producto diádico vectorial doble sobre sí mismo generalmente será distinto de cero. Por ejemplo, un tensor diádico A compuesto de seis vectores diferentes
tiene un producto vectorial doble por sí mismo distinto de cero:
El estímulo o factor de expansión surge de la expansión formal del diádico en una base de coordenadas reemplazando cada producto diádico por un producto escalar de vectores:
en notación indexada, esta es la contracción de índices en el tensor diádico:
Solo en tres dimensiones surge el factor de rotación al reemplazar cada producto diádico por un producto vectorial
Explícitamente, el producto escalar por la derecha de la unidad diádica es
y por la izquierda
La matriz correspondiente es
Esto se puede plantear sobre bases más cuidadosas (explicando lo que podría significar el contenido lógico de la notación yuxtapuesta) utilizando el lenguaje de los productos tensoriales. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, un tensor diádico en V es un tensor elemental en el tensor producto de V con su espacio dual.
El producto tensorial de V y su espacio dual es isomorfo al espacio de aplicaciones lineales de V sobre V: un tensor diádico vf es simplemente una aplicación lineal que envía cualquier w en V a f(w)v. Cuando V es un espacio euclídeo de dimensión n, se puede usar el producto interno para identificar el espacio dual con el propio V, haciendo de un tensor diádico un producto tensorial elemental de dos vectores en el espacio euclídeo.
En este sentido, la unidad diádica ij es la función del espacio tridimensional sobre sí mismo enviando a1i + a2j + a3k a a2i, y jj envía esta suma a a2 'j. Ahora se revela en qué sentido (preciso) ii + jj + kk es la identidad: envía a1i + a2j + a3k sobre sí mismo, porque su efecto es sumar cada vector unitario en la base estándar escalada por el coeficiente del vector en esa base.
Un vector a distinto de cero siempre se puede dividir en dos componentes perpendiculares, una paralela (‖) a la dirección de un vector unitarion y otra perpendicular (⊥) a él;
La componente paralela se encuentra mediante la proyección vectorial, que es equivalente al producto escalar de a por el tensor diádico nn,
y la componente perpendicular se encuentra a partir de la reyección vectorial, que es equivalente al producto escalar de a por el tensor diádico I − nn,
Se puede realizar una rotación general 3d de un vector a, alrededor de un eje en la dirección del vector unitarioω y en sentido antihorario a través del ángulo θ, usando la fórmula de rotación de Rodrigues en forma diádica
donde el tensor diádico de rotación es
y las entradas cartesianas de ω también forman las del tensor diádico
↑El producto vectorial solo existe en espacio prehilbertianos orientados en tres y siete dimensiones, y solo tiene propiedades aprovechables en espacios tridimensionales con producto interno. El producto exterior, otra operación relacionada con el producto vectorial, existe para todos los espacios vectoriales.
Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953), «§1.6: Dyadics and other vector operators», Methods of theoretical physics, Volume 1, New York: McGraw Hill Education, pp. 54–92, ISBN978-0-07-043316-8, MR0059774..
Ismo V. Lindell (1996). Methods for Electromagnetic Field Analysis. Wiley-Blackwell. ISBN978-0-7803-6039-6..
Hollis C. Chen (1983). Theory of Electromagnetic Wave - A Coordinate-free approach. McGraw Hill. ISBN978-0-07-010688-8..
K. Cahill (2013). Physical Mathematics. Cambridge University Press. ISBN978-1107005211.