Tensor de dos puntos

Un tensor de dos puntos (o también vector doble), es un elemento similar a un tensor que se transforman como un vector con respecto a cada uno de sus índices. Se utiliza en mecánica de medios continuos para pasar desde las coordenadas de referencia iniciales ("material") a las coordenadas del estado del sólido en un momento dado ("configuración").​ Ejemplos de su utilización incluyen la teoría de la deformación finita y el primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff.​

Como ocurre con muchas aplicaciones tensoriales se les suele aplicar el convenio de suma de Einstein. Para aclarar su notación, a menudo se utilizan índices con letras mayúsculas para indicar las coordenadas de referencia y con letras minúsculas para las coordenadas de estado. Por lo tanto, un tensor de dos puntos tendrá un índice en mayúscula y otro en minúscula; por ejemplo, A_jM.

Mecánica continua

Un tensor convencional puede verse como una transformación de vectores en un sistema de coordenadas a otros vectores en el mismo sistema de coordenadas.​ Por el contrario, un tensor de dos puntos transforma vectores de un sistema de coordenadas a otro sistema de coordenadas. Es decir, un tensor convencional

$\mathbf {Q} =Q_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {e} _{q})$,

de forma que se transforma activamente un vector u en un vector v tal que

$\mathbf {v} =\mathbf {Q} \mathbf {u}$

donde v y u se miden en el mismo espacio y su representación de coordenadas es con respecto a la misma base (denotada por la "e").

Por el contrario, un tensor de dos puntos, G, se escribe como

$\mathbf {G} =G_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {E} _{q})$

y transforma un vector, U definido en el sistema E, en un vector, v definido en el sistema e como

$\mathbf {v} =\mathbf {GU}$.

Ley de transformación de un tensor de dos puntos

Supóngase que se tienen dos sistemas de coordenadas,​ uno denotado con una comilla y el otro no, y las componentes de un vector se transforman entre ellos como

$v'_{p}=Q_{pq}v_{q}$.

Para tensores, supóngase que se tiene que

$T_{pq}(e_{p}\otimes e_{q})$.

un tensor en el sistema $e_{i}$. En otro sistema, sea el mismo tensor dado por

$T'_{pq}(e'_{p}\otimes e'_{q})$.

Se puede decir que

$T'_{ij}=Q_{ip}Q_{jr}T_{pr}$.

Entonces

$T'=QTQ^{\mathsf {T}}$

es la transformación tensorial habitual. Pero un tensor de dos puntos entre estos sistemas es simplemente

$F_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})$

que se transforma como

$F'=QF$.

Ejemplo

El ejemplo más sencilla de un tensor de dos puntos es el tensor de transformación, el Q en el párrafo anterior. Teniendo en cuenta que

$v'_{p}=Q_{pq}u_{q}$.

Ahora, escribiendo en su totalidad,

$u=u_{q}e_{q}$

y también

$v=v'_{p}e'_{p}$.

Esto entonces requiere que Q tenga la forma

$Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})$.

Por definición de producto tensorial,

$(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}=(e_{q}.e_{q})e'_{p}=3e'_{p}$

(1)

Entonces se puede escribir

$u_{p}e_{p}=(Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q}))(v_{q}e_{q})$

De este modo

$u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}$

Incorporando (1), se obtiene que

$u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}e_{p}$.

Véase también

• Tensor mixto
• Covarianza y contravarianza

Enlaces externos

• Fundamentos matemáticos de la elasticidad Por Jerrold E. Marsden, Thomas J. R. Hughes
• Tensores de dos puntos en iMechanica

• Datos: Q7858744