En electrodinámica clásica y teoría de la relatividad , el tensor de Faraday o tensor de campo electromagnético es un tensor 2-contravariante y antisimétrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte eléctrica y parte magnética del campo:
F
=
F
μ
ν
=
(
0
−
E
x
c
−
E
y
c
−
E
z
c
E
x
c
0
−
B
z
B
y
E
y
c
B
z
0
−
B
x
E
z
c
−
B
y
B
x
0
)
o bien
F
=
F
μ
ν
=
(
0
E
x
c
E
y
c
E
z
c
−
E
x
c
0
−
B
z
B
y
−
E
y
c
B
z
0
−
B
x
−
E
z
c
−
B
y
B
x
0
)
{\displaystyle \mathbf {F} =F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-{\cfrac {E_{x}}{c}}&-{\cfrac {E_{y}}{c}}&-{\cfrac {E_{z}}{c}}\\{\cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}\qquad {\mbox{o bien}}\qquad \mathbf {F} =F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&{\cfrac {E_{x}}{c}}&{\cfrac {E_{y}}{c}}&{\cfrac {E_{z}}{c}}\\-{\cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}
El cuadripotencial A lleva en sus componentes la información de los potenciales. Sus coordenadas son en un sistema coordenado Lorentz:
A
α
=
(
Φ
c
,
A
)
{\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\Phi }{c}},\mathbf {A} \right)}
Donde
ϕ
{\displaystyle \,\phi }
A son el potencial eléctrico y el potencial vector magnético respectivamente.
El cuadripotencial es una 1-forma , para ponerlo en correspondencia con un objeto de rango 2 debemos hacer actuar la derivada exterior . Entonces podemos escribir la relación geométrica que relaciona el cuadripotencial con el tensor de campo electromagnético:
F
=
d
A
{\displaystyle \,F=dA}
Si utilizamos un sistema coordenado de Lorentz podemos escribirlo en componentes de la siguiente forma:
F
μ
ν
=
∂
μ
A
ν
−
∂
ν
A
μ
{\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}
Si recordamos cómo se relacionan los potenciales con los campos E y B, podremos encontrar las componentes del tensor campo electromagnético:
E
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
,
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\cfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
Por tanto, las componentes del tensor se obtendrán de la siguiente forma:
F
01
=
∂
0
A
1
−
∂
1
A
0
=
1
c
∂
A
x
∂
t
−
(
−
∂
(
ϕ
/
c
)
∂
x
)
=
1
c
[
∂
A
x
∂
t
+
∂
ϕ
∂
x
]
=
−
E
x
c
{\displaystyle F^{01}=\partial ^{0}A^{1}-\partial ^{1}A^{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}-\left(-{\frac {\partial (\phi /c)}{\partial x}}\right)={\frac {1}{c}}\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right]=-{\cfrac {E_{x}}{c}}}
Igualmente:
F
02
=
−
E
y
c
,
F
03
=
−
E
z
c
{\displaystyle F^{02}=-{\frac {E_{y}}{c}},\qquad F^{03}=-{\frac {E_{z}}{c}}}
Para los índices espacial-espacial, tenemos que:
F
12
=
∂
1
A
2
−
∂
2
A
1
=
−
∂
A
y
∂
x
+
∂
A
x
∂
y
=
−
B
z
,
F
13
=
B
y
,
F
23
=
−
B
x
{\displaystyle F^{12}=\partial ^{1}A^{2}-\partial ^{2}A^{1}=-{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}=-B_{z},\quad F^{13}=B_{y},\quad F^{23}=-B_{x}}
El tensor es antisimétrico:
F
μ
ν
=
−
F
ν
μ
{\displaystyle \,F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }}
Demostración:
F
μ
ν
=
∂
μ
A
ν
−
∂
ν
A
μ
=
−
(
∂
ν
A
μ
−
∂
μ
A
ν
)
=
−
F
ν
μ
{\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }=-(\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }A^{\nu })=-F^{\nu \mu }}
Los términos de la diagonal son nulos:
F
μ
μ
=
0
{\displaystyle \,F^{\mu \mu }=0}
Demostración:
F
μ
μ
=
∂
μ
A
μ
−
∂
μ
A
μ
=
0
{\displaystyle F^{\mu \mu }=\partial ^{\mu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }A^{\mu }=0}
Dado que F proviene de un potencial
F
=
d
A
{\displaystyle \,F=dA}
exacta . Según en Lema de Poincaré toda forma exacta tiene derivada exterior nula:
d
F
=
0
{\displaystyle \,dF=0}
Esto implica que en los sistemas coordenados Lorentz se cumple:
∂
γ
F
α
β
+
∂
β
F
γ
α
+
∂
α
F
β
γ
=
0
{\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=0}
El tensor es invariante bajo transformaciones gauge del cuadripotencial.
En coordenadas Lorentz, si escogemos un cuadripotencial distinto a
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
A
μ
+
∂
μ
χ
{\displaystyle A_{\mu }+\partial _{\mu }\chi }
χ
{\displaystyle \chi }
F
μ
ν
=
∂
μ
A
ν
−
∂
ν
A
μ
+
∂
μ
∂
ν
χ
−
∂
ν
∂
μ
χ
=
∂
μ
A
ν
−
∂
ν
A
μ
{\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial ^{\mu }\partial ^{\nu }\chi -\partial ^{\nu }\partial ^{\mu }\chi =\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}
De forma más geométrica, puesto que
F
=
d
A
{\displaystyle F=dA}
A
+
d
χ
{\displaystyle A+d\chi }
F
=
d
(
A
+
d
χ
)
=
d
A
{\displaystyle F=d(A+d\chi )=dA}
derivada exterior cumple
d
2
=
0
{\displaystyle d^{2}=0}
Otras expresiones del tensor
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Mediante el tensor métrico
g
μ
ν
{\displaystyle \,g_{\mu \nu }}
subir o bajar índices . Por tanto el tensor campo electromagnético también se puede escribir mediante índices abajo (intercambiando así entre coordenadas covariantes y contravariantes):
F
α
β
=
g
α
μ
F
μ
ν
g
ν
β
{\displaystyle \,F_{\alpha \beta }=g_{\alpha \mu }F^{\mu \nu }g_{\nu \beta }}
Por tanto
F
μ
ν
=
(
0
E
x
c
E
y
c
E
z
c
−
E
x
c
0
−
B
z
B
y
−
E
y
c
B
z
0
−
B
x
−
E
z
c
−
B
y
B
x
0
)
{\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&{\cfrac {E_{x}}{c}}&{\cfrac {E_{y}}{c}}&{\cfrac {E_{z}}{c}}\\-{\cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}
Existe otra forma de agrupar los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico, reemplazando E /c → B y B → −E /c , se obtiene el tensor dual
G
μ
ν
{\displaystyle G^{\mu \nu }}
G
μ
ν
=
(
0
−
B
x
−
B
y
−
B
z
B
x
0
E
z
c
−
E
y
c
B
y
−
E
z
c
0
E
x
c
B
z
E
y
c
−
E
x
c
0
)
{\displaystyle G^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&{\cfrac {E_{z}}{c}}&-{\cfrac {E_{y}}{c}}\\B_{y}&-{\cfrac {E_{z}}{c}}&0&{\cfrac {E_{x}}{c}}\\B_{z}&{\cfrac {E_{y}}{c}}&-{\cfrac {E_{x}}{c}}&0\end{pmatrix}}}
O, bajando índices :
G
μ
ν
=
(
0
B
x
B
y
B
z
−
B
x
0
E
z
c
−
E
y
c
−
B
y
−
E
z
c
0
E
x
c
−
B
z
E
y
c
−
E
x
c
0
)
{\displaystyle G_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&{\cfrac {E_{z}}{c}}&-{\cfrac {E_{y}}{c}}\\-B_{y}&-{\cfrac {E_{z}}{c}}&0&{\cfrac {E_{x}}{c}}\\-B_{z}&{\cfrac {E_{y}}{c}}&-{\cfrac {E_{x}}{c}}&0\end{pmatrix}}}
![{\displaystyle F^{01}=\partial ^{0}A^{1}-\partial ^{1}A^{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}-\left(-{\frac {\partial (\phi /c)}{\partial x}}\right)={\frac {1}{c}}\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right]=-{\cfrac {E_{x}}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c872ccdd4a38f68e5cf4b442b70871f1fcdd205)
Datos: Q1076013