Sueño del sofomoro

En matemáticas, el sueño de sophomore (en inglés sophomore’s dream) o traducido como el sueño del estudiante de segundo año, consiste en el par de identidades (especialmente la primera de ellas)

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}\\\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\end{aligned}}$

descubiertas en 1697 por Johann Bernoulli.

Los valores numéricos de estas constantes son aproximadamente $1.291285997...$ y $0.7834305107...$ respectivamente.

Demostración

Gráfica de las funciones $y=x^{x}$ (rojo) y $y=x^{-x}$ (gris) en el intervalo $(0,1]$.

Las demostraciones de las dos identidades son completamente análogas, por lo que sólo la demostración de la segunda de ellas se presenta. Los ingredientes claves para la demostración son:

• Escribir $x^{x}=\exp(x\ln x)$ donde se utiliza la notación $\exp(x)$ para denotar la función exponencial $e^{x}$.
• Expandir $x^{x}=x\exp(\ln x)$ utilizando la serie de potencia para la función exponencial.
• Integrar utilizando integración por sustitución.

En detalles, uno expande $x^{x}$ como

${\begin{aligned}x^{x}&=\exp(x\ln x)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x\ln x)^{n}}{n!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\ln x)^{n}}{n!}}\end{aligned}}$

Por lo que

$\int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\ln x)^{n}}{n!}}\,dx$

Por el teorema de la convergencia uniforme de las series de potencia, uno puede intercambiar los operadores de suma e integral para obtener

$\int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\ln x)^{n}}{n!}}\,dx$

Para evaluar la integral de arriba, uno puede cambiar la variable de integración realizando la sustitución

$x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)$

Con esta sustitución, los límites de integración se transforman en $0<u<\infty ,$ obteniendo

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{x}dx&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\ln x)^{n}}{n!}}\;dx\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}}{n!}}\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du\end{aligned}}$

Por la identidad integral de Euler para el función gamma, tenemos que

$\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du=n!$

de modo que

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{x}dx&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\ln x)^{n}}{n!}}\;dx\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\end{aligned}}$

Si intercambiamos los índices para que empiece en $n=1$ en lugar de $n=0$ obtenemos

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}\\&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\end{aligned}}$

Generalizaciones

Una generalización de las dos integrales de arriba consiste en la integral

$\int _{0}^{1}x^{cx^{a}}dx$

siendo $a$ y $c$ números reales, esto es, $a,c\in \mathbb {R}$.

Procediendo similarmente y utilizando la identidad

$\int _{0}^{1}x^{m}(\ln x)^{n}dx=(-1)^{n}{\frac {n!}{(m+1)^{n+1}}}$

puede demostrarse que

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{cx^{a}}dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}c^{n}}{(na+1)^{n+1}}}\\&=1-{\frac {c}{(a+1)^{2}}}+{\frac {c^{2}}{(2a+1)^{3}}}-{\frac {c^{3}}{(3a+1)^{4}}}+\cdots \end{aligned}}$

Casos Particulares

Además de los casos $c=-1$ y $a=1$ con el que recuperaríamos la integral

$\int _{0}^{1}x^{-x}dx$

y el caso $c=a=1$ con el que obtenemos

$\int _{0}^{1}x^{x}dx$

es interesante dar algunos valores a $c$ y $a$.

Si $c=1$ y $a=2$ entonces obtenemos

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{x^{2}}dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{n+1}}}\\&=1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots \\&=0.896488...\end{aligned}}$

Si $c=1$ y $a=1/2$ entonces

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{\sqrt {x}}dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left({\frac {n}{2}}+1\right)^{n+1}}}\\&=1-{\frac {1}{\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}}}+{\frac {1}{\left({\frac {4}{2}}\right)^{3}}}-{\frac {1}{\left({\frac {5}{2}}\right)^{4}}}+\cdots \\&=0.658582...\end{aligned}}$

Véase también

• Serie de Taylor
• Función gamma