En matemáticas, una submatriz es una matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de una matriz más grande. También podemos definirla como un arreglo rectangular que se encuentra en subconjuntos específicos de las filas y columnas de la matriz dada.
Sea
A
{\displaystyle A}
una matriz
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
y sean
I
A
=
{
1
,
2
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle I_{A}=\{1,2,...,n\}}
y
J
A
=
{
1
,
2
,
.
.
.
,
m
}
{\displaystyle J_{A}=\{1,2,...,m\}}
los conjuntos de índices de las filas y columnas de
A
{\displaystyle A}
respectivamente. Definimos
B
{\displaystyle B}
una submatriz de
A
{\displaystyle A}
como la matriz resultante de escoger
I
B
⊆
I
A
{\displaystyle I_{B}\subseteq I_{A}}
y
J
B
⊆
J
A
{\displaystyle J_{B}\subseteq J_{A}}
, donde
I
B
{\displaystyle I_{B}}
y
J
B
{\displaystyle J_{B}}
serán los índices de las filas y columnas de la matriz
B
{\displaystyle B}
. Es decir, las filas y columnas de
B
{\displaystyle B}
corresponden a las filas y columnas de
A
{\displaystyle A}
con los índices en
I
B
{\displaystyle I_{B}}
y
J
B
{\displaystyle J_{B}}
respectivamente.[ 1]
Por ejemplo:
A
=
[
a
11
a
12
a
13
a
14
a
21
a
22
a
23
a
24
a
31
a
32
a
33
a
34
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\end{bmatrix}}}
En este caso
I
A
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle I_{A}=\{1,2,3\}}
y
J
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle J_{A}=\{1,2,3,4\}}
, si escogemos
I
B
=
{
1
,
2
}
{\displaystyle I_{B}=\{1,2\}}
y
J
B
=
{
1
,
3
,
4
}
{\displaystyle J_{B}=\{1,3,4\}}
obtenemos:
B
=
[
a
11
a
13
a
14
a
21
a
23
a
24
]
{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{23}&a_{24}\end{bmatrix}}}
En este ejemplo si queremos referirnos a la submatriz
B
{\displaystyle B}
sin necesidad de definirla entrada por entrada, usamos la siguiente notación,
B
=
A
[
{
1
,
2
}
;
{
1
,
3
,
4
}
]
{\displaystyle B=A[\{1,2\};\{1,3,4\}]}
. De manera general decimos que
A
[
I
B
;
J
B
]
{\displaystyle A[I_{B};J_{B}]}
es la submatriz resultante de escoger
I
B
{\displaystyle I_{B}}
y
J
B
{\displaystyle J_{B}}
como conjunto de índices de las filas y columnas de la submatriz.
Una submatriz es principal cuando se escoge
I
B
=
J
B
{\displaystyle I_{B}=J_{B}}
, es decir los conjuntos de índices de las filas y columnas son iguales. Para facilitar la notación se escribe
A
[
I
B
;
I
B
]
=
A
[
I
B
]
{\displaystyle A[I_{B};I_{B}]=A[I_{B}]}
.
Por ejemplo:
A
=
[
a
11
a
12
a
13
a
14
a
21
a
22
a
23
a
24
a
31
a
32
a
33
a
34
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\end{bmatrix}}}
Tomando
I
B
=
{
2
,
3
}
{\displaystyle I_{B}=\{2,3\}}
.
A
[
{
2
,
3
}
]
=
[
a
22
a
23
a
32
a
33
]
{\displaystyle \mathbf {A} [\{2,3\}]={\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}
A
[
{
2
,
3
}
]
{\displaystyle A[\{2,3\}]}
es una submatriz principal de
A
{\displaystyle A}
.
Submatriz principal superior
editar
Sea
A
{\displaystyle A}
una matriz cuadrada de orden
n
{\displaystyle n}
y
I
A
=
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle I_{A}=\{1,\dots ,n\}}
el conjunto de índices de
A
{\displaystyle A}
, si tomamos
k
∈
I
A
{\displaystyle k\in I_{A}}
, la matriz principal
A
[
{
1
,
…
,
k
}
]
{\displaystyle A[\{1,\dots ,k\}]}
es una submatriz principal superior de
A
{\displaystyle A}
.[ 1]
A
=
[
a
11
a
12
a
13
a
14
a
21
a
22
a
23
a
24
a
31
a
32
a
33
a
34
a
41
a
42
a
43
a
44
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}}
Tomando
k
=
3
{\displaystyle k=3}
:
A
[
{
1
,
2
,
3
}
]
=
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
]
{\displaystyle \mathbf {A} [\{1,2,3\}]={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}
A
[
{
1
,
2
,
3
}
]
{\displaystyle A[\{1,2,3\}]}
es una submatriz principal superior de
A
{\displaystyle A}
.
Submatriz principal inferior
editar
Sea
A
{\displaystyle A}
una matriz cuadrada de orden
n
{\displaystyle n}
y
I
A
=
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle I_{A}=\{1,\dots ,n\}}
el conjunto de índices de
A
{\displaystyle A}
, si tomamos
k
∈
I
A
{\displaystyle k\in I_{A}}
, decimos que la matriz principal
A
[
{
k
,
…
,
n
}
]
{\displaystyle A[\{k,\dots ,n\}]}
es una submatriz principal inferior de
A
{\displaystyle A}
.[ 1]
A
=
[
a
11
a
12
a
13
a
14
a
21
a
22
a
23
a
24
a
31
a
32
a
33
a
34
a
41
a
42
a
43
a
44
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}}
Tomando
k
=
2
{\displaystyle k=2}
:
A
[
{
2
,
3
,
4
}
]
=
[
a
22
a
23
a
24
a
32
a
33
a
34
a
42
a
43
a
44
]
{\displaystyle \mathbf {A} [\{2,3,4\}]={\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}}
A
[
{
2
,
3
,
4
}
]
{\displaystyle A[\{2,3,4\}]}
es una submatriz principal inferior de
A
{\displaystyle A}
.