Representación adjunta

En matemáticas, la representación adjunta (o acción adjunta) de un grupo de Lie es una forma de representar los elementos del grupo como transformaciones lineales del álgebra de Lie del grupo, considerado como un espacio vectorial. Por ejemplo, si es el grupo de Lie de matrices invertibles reales n por n, entonces la representación adjunta es el homomorfismo de grupo que envía una matriz invertible n por n, siendo un endomorfismo del espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de definido por .

Para cualquier grupo de Lie, esta representación natural se obtiene linealizando (es decir, tomando el diferencial de) la acción de sobre sí mismo mediante conjugación. La representación adjunta se puede definir para grupos algebraicos lineales sobre campos arbitrarios.

Definición

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Sea G un grupo de Lie y sea

 

ser el mapeo   con Aut(G) el grupo de automorfismo de   y   dado por el automorfismo interno (conjugación)

 

Este   es un homomorfismo de grupo de Lie.

Para cada   en  , definido   siendo la derivada de   en el origen:

 

donde   es el diferencial de   es el espacio tangente al origen   (  siendo la identidad del elemento del grupo  ). Desde   es un automorfismo del grupo Lie,   es un Automorfismo álgebra de Lie; una invertible aplicación lineal de   el mismo conserva el Álgebra de Lie. Además, desde que   es un grupo homomorfismo,   también es un homomorfismo de grupo. Por lo tanto, el mapa

 

es un representación de grupo llamado el representación adjunta de  .

Si   es una Correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie del grupo general   (llamado grupo de Lie lineal inmenso), entonces la álgebra de Lie   consiste en matrices y de Aplicación exponencial (teoría de Lie) es la matrix exponencial   para matrices   con peqeñas normas operativas. Nosotroa calcularemos la derivada de   de  . Para   en   y pequeña   en  , la curba   a derivado   a  , uno entonces obtiene:

Bibliografía

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Enlaces externos

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