Reglas de derivación
Este es un resumen de reglas de diferenciación, esto es, reglas para calcular la derivado de una función en cálculo.
Reglas elementales de diferenciación
editarA menos que se diga lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales ( ) que regresan valores reales, es decir, .
La diferenciación es lineal
editarPara cualesquier funciones y y cualesquiera números reales y , la derivada de la función con respetar a es
en la notación de Leibniz esto se escribe como:
Casos especiales incluyen:
- La regla del producto por una constante
- La regla de suma
- La regla de la resta
La regla de producto
editarPara las funciones y , la derivada de la función con respecto a es
En la notación de Leibniz esto se escribe como
La regla de cadena
editarLa derivada de la función es
En la notación de Leibniz esto se escribe como:
a menudo abreviado a
La regla de la función inversa
editarSi la función tiene como función inversa , esto es, y entonces
En Leibniz notación esto se escribe como
Leyes de potencias, polinomios, cocientes y reciproco
editarLa regla de la potencia
editarSi , para cualquier número real entonces
cuando esto se convierte en el caso especial que si entonces
Combinando la regla de la potencia con la suma y las reglas del producto por una constante permite el cálculo de la derivada de cualquier polinomio.
La regla recíproca
editarLa derivada de para cualquier función es:
siempre que para toda .
En la notación de Leibniz esto se escribe como
La regla recíproca puede ser obtenida a partir de la regla de cociente o de la combinación de regla de una potencia y la regla de cadena.
La regla de cociente
editarSi y son funciones entonces:
siempre que .
Esta puede ser obtenida a partir de la regla de producto y la regla recíproca.
Regla de la potencia generalizada
editarLa regla elemental de la potencia generalizada cambia considerablemente. La regla de la potencia más general es la regla de la potencia a una función: para cualesquiera funciones y
como casos especiales se tiene
- Si entonces cuando es un número real cualquiera y es positivo.
- La regla recíproca puede ser obtenida como el caso especial cuando .
Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas
editarla ecuación de arriba es válida para todo , pero la derivada para obtiene un número complejo.
la ecuación de arriba también es válida para todo pero se obtiene un número complejo si .
Derivadas logarítmicas
editarLa derivada logarítmica es otra manera de enunciar la regla para derivar el logaritmo de una función (utilizando la regla de cadena):
cuando es positiva.
La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada. Los logaritmos pueden ser utilizados para remover exponentes, convertir productos en sumas y convertir una división a una resta.
Derivadas de funciones trigonométricas
editarDerivadas de funciones hiperbólicas
editarDerivadas de funciones especiales
editar
con siendo la función digamma, expresada por la expresión en paréntesis a la derecha de . |
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Derivadas de integrales
editarSupone que se requiere derivar con respetar a la función
donde las funciones y son ambas continuas en y en en alguna del plano , incluyendo y las funciones y son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuos para entonces para: :
esta fórmula es la forma general de la regla de diferenciación de Leibniz y puede ser obtenida utilizando el teorema fundamental de cálculo.
Derivadas de -ésimo orden
editarAlgunas reglas existen para calcular la -ésima derivada de una función, donde es un entero positivo. Estas incluyen:
Fórmula de Faà di Bruno
editarSi y son veces diferenciables entonces
donde y el conjunto consta de todos los enteros no negativos que son soluciones de la ecuación de Diophantine .
Regla general de Leibniz
editarSi y son veces diferenciables entonces