Proyección escalar

En matemáticas, la proyección escalar de un vector $\mathbf {a}$ sobre (o respecto a) un vector $\mathbf {b} ,$ también conocida como resolución escalar de $\mathbf {a}$ en la dirección de $\mathbf {b} ,$ viene dada por:

Si 0° ≤ θ ≤ 90°, como en este caso, la proyección escalar de a sobre b coincide con la longitud del vector proyección

Proyección vectorial de a sobre b (a₁), y vector resto de a respecto a b (a₂)

$s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} ,$

donde el operador $\cdot$ denota un producto escalar, ${\hat {\mathbf {b} }}$ es el vector unitario en la dirección de $\mathbf {b} ,$, $\left\|\mathbf {a} \right\|$ es la longitud de $\mathbf {a} ,$ y $\theta$ es el ángulo entre $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$.

El término componente escalar se refiere a veces a la proyección escalar, ya que, en coordenadas cartesianas, las componentes de un vector son las proyecciones escalares en las direcciones del sistema de coordenadas.​

La proyección escalar, como su nombre indica, es un escalar, igual a la longitud de la proyección de $\mathbf {a}$ sobre $\mathbf {b}$, con signo negativo si la proyección tiene dirección opuesta respecto a $\mathbf {b}$.

Multiplicar la proyección escalar de $\mathbf {a}$ sobre $\mathbf {b}$ por $\mathbf {\hat {b}}$ la convierte en la proyección ortogonal mencionada anteriormente, también llamada proyección vectorial de $\mathbf {a}$ sobre $\mathbf {b}$.

Definición basada en el ángulo θ

Si se conoce el ángulo $\theta$ entre $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$, la proyección escalar de $\mathbf {a}$ sobre $\mathbf {b}$ se puede calcular usando la expresión

$s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta .$ ($s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|$ en la figura)

La fórmula anterior se puede invertir para obtener el coseno del ángulo θ.

Definición en términos de a y b

Cuando no se conoce $\theta$, el coseno de $\theta$ se puede calcular en términos de $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b} ,$ mediante la siguiente propiedad​ del producto escalar $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$:

${\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta$

Por esta propiedad, la definición de la proyección escalar $s$ toma la forma siguiente:

$s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {a} \right\|{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,$

Propiedades

La proyección escalar tiene signo negativo si $90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }$. Coincide con la longitud de la proyección vectorial correspondiente si el ángulo es menor que 90°. Más exactamente, si la proyección del vector se denota como $\mathbf {a} _{1}$ y su longitud como $\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|$, entonces:

$s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|$ si $(0^{\circ }\leq \theta \leq 90^{\circ }),$

$s=0$ si $(\theta =90^{\circ }),$ es decir, si los dos vectores son perpendiculares entre sí;

$s=-\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|$ si $(90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }).$

Véase también

• Producto escalar
• Producto vectorial
• Proyección vectorial

Enlaces externos

• Dot products - www.mit.org
• Scalar projection - Flexbooks.ck12.org
• Scalar Projection & Vector Projection - medium.com
• Lesson Explainer: Scalar Projection | Nagwa

• Datos: Q3889625