No debe confundirse con
π , número irracional ≈ 3,141592..
El productorio o productoria , también conocido como multiplicatorio , multiplicatoria , producto o infrecuentemente pitatoria o pitatorio (por denotarse como una letra pi mayúscula), es una notación matemática que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria (finita o infinita).
Letra pi mayúscula, notación del productorio.
La notación se expresa con la letra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:
Para todos los valores m < n
∏
k
=
m
n
a
k
=
a
m
⋅
a
m
+
1
⋅
…
⋅
a
n
{\displaystyle \prod _{k=m}^{n}a_{k}=a_{m}\cdot a_{m+1}\cdot \quad \dots \quad \cdot a_{n}}
Si m = n tenemos que:
m
=
n
,
∏
k
=
m
n
a
k
=
∏
k
=
m
m
a
k
=
a
m
{\displaystyle m=n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=\prod _{k=m}^{m}a_{k}=a_{m}}
En el caso de que m sea mayor que n , m > n , se le asigna el valor del elemento neutro de la multiplicación, el uno:
m
>
n
,
∏
k
=
m
n
a
k
=
1
{\displaystyle m>n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=1}
Se puede definir por inducción como sigue.
1. Se define
∏
k
=
1
1
a
k
=
a
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{1}a_{k}=a_{1}}
2. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
=
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
a
n
+
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)a_{n+1}}
Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes. Así, tomando n =1 y aplicando la segunda igualdad se obtiene:
∏
k
=
1
2
a
k
=
(
∏
k
=
1
1
a
k
)
(
a
2
)
=
a
1
a
2
{\displaystyle \prod _{k=1}^{2}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)(a_{2})=a_{1}a_{2}}
Definida para n =2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n =2 para luego obtener
∏
k
=
1
3
a
k
=
(
∏
k
=
1
2
a
k
)
(
a
3
)
=
(
a
1
a
2
)
a
3
{\displaystyle \prod _{k=1}^{3}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{2}a_{k}\right)(a_{3})=(a_{1}a_{2})a_{3}}
Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto
(
a
1
a
2
)
a
3
{\displaystyle {\mathit {(a_{1}a_{2})a_{3}}}\,\!}
a
1
(
a
2
a
3
)
{\displaystyle {\mathit {a_{1}(a_{2}a_{3})}}\,\!}
a
1
a
2
a
3
=
∏
k
=
1
3
a
k
{\displaystyle a_{1}\,a_{2}\,a_{3}=\prod _{k=1}^{3}a_{k}}
Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Otro ejemplo de productorio muy conocido es el que se utiliza para definir n ! (n factorial ) como sigue:
∏
k
=
1
n
k
=
n
!
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k=n!}
Se define
0
!
=
1
!
=
1
{\displaystyle 0!=1!=1}
Se puede usar el método de inducción matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos en la definición formal por inducción descrita anteriormente.
Propiedad Multiplicativa
editar
∏
k
=
1
n
(
a
k
b
k
)
=
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
(
∏
k
=
1
n
b
k
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)}
Demostración por Inducción
i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad
∏
k
=
1
1
(
a
k
b
k
)
=
a
1
b
1
=
(
∏
k
=
1
1
a
k
)
(
∏
k
=
1
1
b
k
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{1}{({a_{k}}{b_{k}})}=a_{1}b_{1}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{1}b_{k}\right)}
y la igualdad es cierta para n =1
ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n +1
∏
k
=
1
n
+
1
(
a
k
b
k
)
=
[
∏
k
=
1
n
(
a
k
b
k
)
]
(
a
n
+
1
b
n
+
1
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\prod _{k=1}^{n}{({a_{k}}{b_{k}})}\right](a_{n+1}b_{n+1})}
∏
k
=
1
n
+
1
(
a
k
b
k
)
=
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
(
∏
k
=
1
n
b
k
)
a
n
+
1
b
n
+
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)a_{n+1}b_{n+1}}
(Definición por inducción)
∏
k
=
1
n
+
1
(
a
k
b
k
)
=
[
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
(
a
n
+
1
)
]
[
(
∏
k
=
1
n
b
k
)
(
b
n
+
1
)
]
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)(a_{n+1})\right]\left[\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)(b_{n+1})\right]}
(Asociatividad en IR)
Luego,
∏
k
=
1
n
+
1
(
a
k
b
k
)
=
(
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
)
(
∏
k
=
1
n
+
1
b
k
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n+1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n+1}b_{k}\right)}
∏
k
=
1
n
a
k
a
k
−
1
=
a
n
a
0
,
si cada
a
k
≠
0
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}},\quad {\text{si cada}}\;a_{k}\neq 0}
Demostración por Inducción
i) Analicemos para n =1
∏
k
=
1
1
a
k
a
k
−
1
=
a
1
a
0
,
con:
a
0
≠
0
y la igualdad es cierta para:
n
=
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{1}}{a_{0}}},\quad {\text{con:}}\;a_{0}\neq 0\;{\text{y la igualdad es cierta para:}}\;n=1}
ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n +1
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
a
k
−
1
=
(
∏
k
=
1
n
a
k
a
k
−
1
)
(
a
n
+
1
a
n
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}=\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\right)\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)}
(Definición por inducción) Luego,
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
a
k
−
1
=
a
n
a
0
a
n
+
1
a
n
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}}\;{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}
que es lo que queríamos demostrar.
Nótese que nuestra exigencia era que para cada
k
{\displaystyle {\mathit {k}}\,\!}
a
k
≠
0
{\displaystyle a_{k}\neq 0}
k
=
n
{\displaystyle {\mathit {k=n}}\,\!}
a
k
=
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{k}=a_{n}\neq 0}
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
a
k
−
1
=
a
n
+
1
a
0
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{0}}}}
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6ccaf8a58252c04b17c0417a1d1020e44ec260)
![{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)(a_{n+1})\right]\left[\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)(b_{n+1})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ee83da0ae058ace3c52d02f4b07afa4a1cf250)
Datos: Q58623169