Producto de Cantor

Un producto de Cantor es una descomposición única en forma de producto infinito de números racionales, que existe para cualquier número real $r>1$, de la forma:​​

$r=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{q_{k}}}\right)$

donde los números $q_{k}\in \mathbb {N}$ son números naturales positivos y donde, además, $q_{k+1}\geq q_{k}^{2}$

Enunciado del teorema de Cantor

El teorema de Cantor sobre productos cantorianos infinitos puede resumirse de la siguiente forma:

Sea ${\alpha }_{0}>1$ un número real. Entonces se aplica lo siguiente:​​

(I) Para ${\alpha }_{0}$ una y solo una sucesión de números naturales $(q_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ se puede determinar de tal manera que ${\alpha }_{0}$ es una representación del producto de la forma

${\alpha }_{0}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\tfrac {1}{q_{n}}}\right)$

donde en esta sucesión, para cada índice $n$ la desigualdad $q_{n+1}\geq {q_{n}}^{2}$ y donde sólo aparece un número finito de elementos de secuencia con $q_{n}=1$.

(II) Todo producto cantoriano, es decir, todo producto infinito de la forma descrita en (I), es convergente.

(III) ${\alpha }_{0}$ es un número racional si y solo si en la representación del producto de Cantor según (I) de un índice $N$ para todos los índices posteriores $n\geq N$ siempre la identidad $q_{n+1}={q_{n}}^{2}$.

Propiedades

Se cumple que para $r\in (2^{k-1},2^{k}]$ entonces $q_{1}=q_{2}=\dots =q_{k}=1$ y, obviamente el resto de componentes cumplirán que $q_{k+1}<q_{k+2}<\dots$. Nótese que a partir del primer valor para el cual $q_{k+1}>1$ el resto de enteros crecen muy rápido y por tanto la convergencia de la producto infinito se acelera.

Ejemplos

${\sqrt {2}}=\left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{17}}\right)\left(1+{\frac {1}{577}}\right)\left(1+{\frac {1}{665857}}\right)\dots$

${\sqrt {3}}=\left(1+{\frac {1}{2}}\right)\left(1+{\frac {1}{7}}\right)\left(1+{\frac {1}{97}}\right)\left(1+{\frac {1}{18817}}\right)\dots$

Más en general se tiene ${\sqrt {\frac {k+1}{k-1}}}=\left(1+{\frac {1}{a_{1}}}\right)\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\right)\dots$ con $a_{1}=k$ y $a_{k+1}=2a_{k}^{2}-1$​

Algoritmo

La sucesión de números $(q_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ puede determinarse inductivamente partiendo de ${\alpha }_{0}=r>1$ tal como sigue:

$q_{0}=\left\lfloor {\frac {{\alpha }_{0}}{{\alpha }_{0}-1}}\right\rfloor$ ​ y ${\alpha }_{n}={\frac {{\alpha }_{n-1}}{1+{\frac {1}{q_{n-1}}}}}\;\;\;q_{n}=\left\lfloor {\frac {{\alpha }_{n}}{{\alpha }_{n}-1}}\right\rfloor$ para $n\in \mathbb {N}$

Demostración

La demostración se puede obtener a partir de la siguiente identidad debida a Euler:​

$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{2^{m}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }x^{n}$

Referencias

Bibliografía

• Halbeisen, L. J. (2012). Combinatorial set theory (Vol. 121). London: Springer.
• Lacroix, Y. (1993). "Metric properties of generalized Cantor products". Acta Arithmetica, 63(1), 61-77.
• Amrik Singh Nimbran (2016). "Mathematics behind ${\sqrt {2}}$ in Sulba-Sutras and Cantor Product".

• Datos: Q19843274