Producto (teoría de categorías)
En teoría de categorías, el producto de dos (o más) objetos es una noción que captura la esencia detrás de otras construcciones en otras áreas de las matemáticas tales como producto cartesiano de conjuntos, el producto directo de grupos, producto directo de anillos, el producto de espacios topológicos entre otros. Esencialmente el producto de una familia de objetos es el "más general" de los objetos que admite morfismos a cada uno de los objetos dados.
Definición
editarSea una categoría, y objetos de . Un objeto es el producto de y , denotado si y solo si satisface la siguiente propiedad universal
- Existe morfismos , llamadas proyecciones canónicas o proyecciones tal que para cualquier otro objeto y un par de morfismos existe un único morfismo tal que el siguiente diagrama conmuta:
El único morfismo recibe el nombre de morfismo producto de y y se denota por .
Se acaba de definir el producto binario. En lugar de dos objetos considere una familia arbitraria de objetos indicada por algún conjunto . Entonces obtenemos la definición de un producto.
Un objeto es el producto de una familia de objetos si y solo si existen morfismos , tal que para cualquier otro objeto y una familia de morfismos indizados por existe un único morfismo tal que el siguiente diagrama conmuta para cualquier
El producto se denota como ; si , entonces se denota como y el morfismo producto como .
De forma alterna, el producto puede ser definido totalmente mediante ecuaciones, aquí esta un ejemplo para el producto binario:
- La existencia de se garantizada por la operación .
- La conmutatividad de los respectivos diagramas está garantizada por la igualdad .
- La Unicidad de es garantizada por la igualdad .[1]
También el producto puede ser obtenido a partir del límite. Una familia de objetos es un diagrama sin morfismos. Si consideramos nuestro diagrama como un funtor, entonces es un funtor desde considerada como una categoría discreta. Entonces la definición de producto coincide con la definición de cono límite para este funtor.
Ejemplos
editarEn la categoría Set (la categoría de conjuntos) el producto para la categoría es el producto cartesiano. Dada una familia de conjuntos Xi el producto es definido como
con las proyecciones
Dado cualquier otro conjunto Y con una familia de funciones : la flecha universal f se define como
- En la categoría de espacios topológicos el producto categórico es el espacio topológico cuyo conjunto subyacente es el producto cartesiano con la topología producto.
- En la categoría de módulos sobre algún anillo R, el producto categórico está dado por el producto directo de módulos.
- En la categoría de grupos el producto categórico está dado por el producto cartesiano con la multiplicación definida componente a componente.
- En la categoría de variedades algebraicas el producto está dado por el encaje de Segre
- Un conjunto parcialmente ordenado puede ser considerado como una categoría, usando la relación de orden como los morfismos. En este caso los productos y coproductos son los ínfimos y supremos del conjunto respectivamente
- Un producto vacío (i.e. es el conjunto vacío) es un objeto terminal o final)
Discusión
editarEl producto no necesariamente existe; por ejemplo considere una familia infinita de espacios métricos como y , no existe tal cosa como el producto métrico de ellos.
Una categoría en donde para cualquier conjunto finito de objetos existe su producto entonces es llamada categoría cartesiana
Supongamos que es una categoría cartesiana y denota el objeto final de la categoría . Entonces tenemos los siguientes isomorfismos naturales.
Estas propiedades son similares a aquellas dadas en un monoide conmutativo; una categoría que tiene productos finitos forma una categoría simétrica monoidal
Distributividad
editarEn una categoría con productos y coproductos finitos existe un morfismo canónico X×Y+X×Z → X×(Y+Z), donde el signo aditivo denota el coproducto, para comprender esto observe que tenemos varias proyecciones e inyecciones canónicas que completan el diagrama:
La propiedad universal para X×(Y+Z) garantiza un único morfismo X×Y+X×Z → X×(Y+Z),. Una categoría distributiva es aquella en el cual este morfismo es realmente un isomorfismo
Véase también
editarReferencias
editar- ↑ Lambek J., Scott P. J. (1988). Introduction to Higher-Order Categorical Logic. Cambridge University Press. p. 304.
- Adámek, Jiří; Horst Herrlich, and George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Archivado desde el original el 21 de abril de 2015. Consultado el 12 de marzo de 2011.
- Barr, Michael; Charles Wells (1999). Category Theory for Computing Science. Les Publications CRM Montreal (publication PM023). Chapter 5.
- Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed. edición). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Enlaces externos
editar- Interactive Web page which generates examples of products in the category of finite sets. Written by Jocelyn Paine.