Problema de Plateau

En matemáticas, el problema de Plateau es mostrar la existencia de una superficie minimal con una frontera dada, un problema planteado por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, fue nombrado posteriormente por Joseph Plateau quien experimentó con películas de jabón. El problema es considerado parte del cálculo de variaciones. La existencia y regularidad de los problemas son parte de la teoría geométrica de la medida.

Ejemplo práctico del problema de Plateau con formas creadas con alambre y pompas de jabón.

Planteamiento

Fotografía de una burbuja de jabón formando un catenoide.

La generalización del problema de Plateau formulado consiste en lo siguiente:

Se da una curva cerrada (de Jordan) en el espacio. Hallar la superficie que contiene esta curva y tal que el área abarcada por la curva sea mínima.

Se dan dos puntos $P_{1}(x_{1},y_{1})$ y $P_{2}(x_{2},y_{2})$ del plano $xy$. Sea $x_{1}<\;x_{2}$. Supongamos que $y=y(x)$ es la ecuación de una curva que une los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$, es decir,

$y=y(x_{1})$, $y=y(x_{2})$.

La curva gira alrededor del eje $x$ barriendo cierta superficie de revolución. Se pregunta: ¿cuál es la superficie de rotación que tiene la menor área posible? De este modo se llega al problema de la elección de la función $y(x)$ para la que la integral

$S=2\pi \ \int _{x_{1}}^{x_{2}}y{\sqrt {1+y^{'2}}}\,dx$

(área de la superficie de revolución) es mínima. Estas superficies de revolución mínimas, bajo ciertas restricciones adicionales sobre los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$, se denominan catenoides.

Enlaces externos

• https://web.archive.org/web/20070929102141/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/var.pdf (en ruso)

• Datos: Q1972021