Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales , llamados así en honor de Edmond Laguerre , surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial :
x
y
″
+
(
1
−
x
)
y
′
+
n
y
=
0
{\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,}
Desarrollando
y
{\displaystyle y}
serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:
a
k
+
1
=
k
−
n
(
k
+
1
)
2
a
k
,
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
;
y
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
x
k
{\displaystyle a_{k+1}={\frac {k-n}{(k+1)^{2}}}a_{k},\ \ k=0,1,2,...;\ \ \ y(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\,}
Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por Ln (x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general
y
″
(
x
)
+
p
(
x
)
y
′
(
x
)
+
q
(
x
)
y
(
x
)
=
0
{\displaystyle y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0}
La función generatriz de los polinomios de Laguerre viene dada por:
ψ
(
x
,
t
)
=
∑
n
=
0
∞
L
n
(
x
)
t
n
=
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
k
!
(
n
k
)
x
k
t
n
|
t
|
<
1
{\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{L_{n}(x)}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{n \choose k}x^{k}t^{n}\ \ \ |t|<1}
Cambiando el orden de los sumatorios, haciendo el cambio m = n - k y reordenando queda lo que a continuación:
ψ
(
x
,
t
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
!
x
k
t
k
∑
m
=
0
∞
(
m
+
k
k
)
t
m
{\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}t^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{m+k \choose k}t^{m}}
Que sabiendo que
∑
m
=
0
∞
(
m
+
k
k
)
t
m
=
(
1
1
−
t
)
k
+
1
∀
|
t
|
<
1
{\displaystyle \ \scriptstyle \sum _{m=0}^{\infty }{m+k \choose k}t^{m}=\left({\frac {1}{1-t}}\right)^{k+1}\ \ \forall \ |t|<1}
ψ
(
x
,
t
)
=
1
1
−
t
∑
k
=
0
∞
1
k
!
(
−
x
t
1
−
t
)
k
=
1
1
−
t
exp
(
−
x
t
1
−
t
)
{\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{1-t}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)^{k}={\frac {1}{1-t}}\exp {\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)}}
Relaciones de recurrencia
editar
A partir de la función generatriz, despejando la exponencial y derivando respecto de t se puede llegar a una relación de recurrencia como la siguiente:
(
n
+
1
)
L
n
+
1
(
x
)
=
(
2
n
+
1
−
x
)
L
n
(
x
)
−
n
L
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x)\,}
Conocidos los dos primeros polinomios (ver tabla) puede utilizarse esta fórmula para obtener el de grado n.
Los polinomios de Laguerre son ortogonales según el producto escalar:
⟨
L
n
|
L
m
⟩
=
∫
0
∞
L
n
(
x
)
L
m
(
x
)
e
−
x
d
x
=
δ
n
m
{\displaystyle \left\langle L_{n}|L_{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }L_{n}(x)L_{m}(x)e^{-x}dx=\delta _{nm}}
Siendo
δ
n
m
{\displaystyle \delta _{nm}}
delta de Kronecker . No obstante podemos definir las funciones:
φ
n
(
x
)
=
L
n
(
x
)
e
−
x
/
2
{\displaystyle \varphi _{n}(x)=L_{n}(x)e^{-x/2}}
Que claramente son ortonormales respecto del producto escalar ordinario:
⟨
φ
n
|
φ
m
⟩
=
∫
0
∞
φ
n
(
x
)
φ
m
(
x
)
d
x
=
δ
n
m
{\displaystyle \left\langle \varphi _{n}|\varphi _{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{m}(x)dx=\delta _{nm}}
Despejando de su definición los polinomios de Laguerre y sustituyendo en la ecuación de Laguerre obtenemos la ecuación diferencial que nos da estas funciones como solución:
x
φ
n
″
(
x
)
+
φ
n
′
(
x
)
+
(
n
+
1
2
−
x
4
)
φ
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle x\varphi _{n}''(x)+\varphi _{n}'(x)+\left(n+{\frac {1}{2}}-{\frac {x}{4}}\right)\varphi _{n}(x)=0}
Polinomios asociados de Laguerre
editar
También llamados polinomios de Laguerre generalizados, son polinomios que cumplen la siguiente ecuación diferencial:
x
y
″
(
x
)
+
(
m
+
1
−
x
)
y
′
(
x
)
+
n
y
(
x
)
=
0
{\displaystyle xy''(x)+(m+1-x)y'(x)+ny(x)=0\,}
Quedan definidos a partir de las derivadas de los polinomios de Laguerre:
L
n
m
(
x
)
=
(
−
1
)
m
d
m
d
x
m
L
n
+
m
(
x
)
,
m
≤
n
{\displaystyle L_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}L_{n+m}(x),\ m\leq n}
Aunque en ocasiones puede resultar ventajoso emplear la fórmula de Rodrigues :
L
n
m
(
x
)
=
e
x
x
−
m
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
+
m
)
{\displaystyle L_{n}^{m}(x)={\frac {e^{x}x^{-m}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(e^{-x}x^{n+m})}
Derivando, según la definición se obtiene:
L
n
m
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
+
m
n
−
k
)
1
k
!
x
k
{\displaystyle L_{n}^{m}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n+m \choose n-k}{\frac {1}{k!}}x^{k}}
editar
La función generatriz viene dada por:
ψ
m
(
x
,
t
)
=
∑
n
=
m
∞
L
n
m
(
x
)
t
n
=
1
(
1
−
t
)
m
+
1
exp
(
−
x
t
1
−
t
)
|
t
|
<
1
{\displaystyle \psi _{m}(x,t)=\sum _{n=m}^{\infty }L_{n}^{m}(x)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{m+1}}}\exp {\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)}\ \ \ |t|<1}
De la que se derivan las relaciones de recurrencia que cumplen; algunas de las cuales son las siguientes:
L
n
m
(
x
)
=
L
n
m
+
1
(
x
)
−
L
n
−
1
m
+
1
(
x
)
{\displaystyle L_{n}^{m}(x)=L_{n}^{m+1}(x)-L_{n-1}^{m+1}(x)}
d
d
x
L
n
m
(
x
)
=
−
L
n
−
1
m
+
1
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}L_{n}^{m}(x)=-L_{n-1}^{m+1}(x)}
n
L
n
m
(
x
)
=
(
n
+
m
)
L
n
−
1
m
(
x
)
+
(
n
−
x
)
L
n
−
1
m
+
1
(
x
)
{\displaystyle nL_{n}^{m}(x)=(n+m)L_{n-1}^{m}(x)+(n-x)L_{n-1}^{m+1}(x)}
x
L
n
m
+
1
(
x
)
=
(
n
+
m
)
L
n
−
1
m
(
x
)
−
(
n
−
x
)
L
n
m
(
x
)
{\displaystyle xL_{n}^{m+1}(x)=(n+m)L_{n-1}^{m}(x)-(n-x)L_{n}^{m}(x)}
Los polinomios asociados de Laguerre son ortogonales respecto la función peso
x
m
e
−
x
{\displaystyle \scriptstyle x^{m}e^{-x}}
⟨
L
n
m
|
L
n
′
m
⟩
=
∫
0
∞
e
−
x
x
m
L
n
m
(
x
)
L
n
′
m
(
x
)
d
x
=
Γ
(
n
+
m
+
1
)
n
!
δ
n
n
′
{\displaystyle \left\langle L_{n}^{m}|L_{n'}^{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}L_{n}^{m}(x)L_{n'}^{m}(x)dx={\frac {\Gamma (n+m+1)}{n!}}\delta _{nn'}}
Otra relación de importancia que cumplen es la siguiente:
⟨
L
n
m
|
x
L
n
m
⟩
=
∫
0
∞
e
−
x
x
m
+
1
L
n
m
(
x
)
L
n
m
(
x
)
d
x
=
Γ
(
n
+
m
+
1
)
n
!
(
2
n
+
m
+
1
)
{\displaystyle \left\langle L_{n}^{m}|xL_{n}^{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{m+1}L_{n}^{m}(x)L_{n}^{m}(x)dx={\frac {\Gamma (n+m+1)}{n!}}(2n+m+1)}
Γ
(
k
)
{\displaystyle \scriptstyle \Gamma (k)}
función Gamma .
Como con los polinomios de Laguerre, se encuentra que las siguientes funciones son ortonormales respecto de la función peso 1:
φ
n
m
(
x
)
=
n
!
Γ
(
n
+
m
+
1
)
e
−
x
/
2
x
m
/
2
L
n
m
(
x
)
{\displaystyle \varphi _{nm}(x)={\sqrt {\frac {n!}{\Gamma (n+m+1)}}}e^{-x/2}x^{m/2}L_{n}^{m}(x)}
Son de importancia en mecánica cuántica otras que son ortonormales respecto de la función peso
x
2
{\displaystyle \scriptstyle x^{2}}
integral de volumen en coordenadas esféricas ) que surgen como solución a la parte radial de la ecuación de Schrödinger para el átomo hidrogenoide . Estas funciones son las siguientes:
R
n
l
(
ρ
)
=
N
e
−
ρ
/
2
ρ
l
L
n
+
l
−
1
2
l
+
1
(
ρ
)
{\displaystyle R_{nl}(\rho )=Ne^{-\rho /2}\rho ^{l}L_{n+l-1}^{2l+1}(\rho )}
En general las funciones construidas de la forma:
φ
n
m
ν
(
x
)
=
e
−
x
/
2
x
ν
L
n
m
(
x
)
{\displaystyle \varphi _{nm\nu }(x)=e^{-x/2}x^{\nu }L_{n}^{m}(x)}
Son ortogonales respecto de la función peso
x
m
−
2
ν
{\displaystyle \scriptstyle x^{m-2\nu }}
x
φ
n
m
ν
″
(
x
)
+
(
m
+
1
−
2
ν
)
φ
n
m
ν
′
(
x
)
+
[
n
+
m
+
1
2
−
x
4
+
ν
(
ν
−
m
)
x
]
φ
n
m
ν
=
0
{\displaystyle x\varphi _{nm\nu }''(x)+(m+1-2\nu )\varphi _{nm\nu }'(x)+\left[n+{\frac {m+1}{2}}-{\frac {x}{4}}+{\frac {\nu (\nu -m)}{x}}\right]\varphi _{nm\nu }=0}
editar
Los polinomios de Laguerre se relacionan con los polinomios de Hermite como sigue:
L
n
−
1
/
2
(
x
2
)
=
(
−
1
)
n
2
2
n
n
!
H
2
n
(
x
)
{\displaystyle L_{n}^{-1/2}(x^{2})={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}n!}}H_{2n}({\sqrt {x}})}
L
n
1
/
2
(
x
2
)
=
(
−
1
)
n
2
2
n
+
1
n
!
H
2
n
+
1
(
x
)
x
{\displaystyle L_{n}^{1/2}(x^{2})={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n+1}n!}}{\frac {H_{2n+1}({\sqrt {x}})}{\sqrt {x}}}}
![{\displaystyle x\varphi _{nm\nu }''(x)+(m+1-2\nu )\varphi _{nm\nu }'(x)+\left[n+{\frac {m+1}{2}}-{\frac {x}{4}}+{\frac {\nu (\nu -m)}{x}}\right]\varphi _{nm\nu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df38663c91912537cc9b51ed778f4f351dac123)
Datos: Q1124546
Multimedia: Laguerre polynomials / Q1124546
