Anexo:Pendientes y deformaciones en vigas

En este artículo se muestran las fórmulas que se aplican para calcular pendientes y deformaciones en vigas, o sea la flecha máxima y el giro en el apoyo para algunos casos particulares de la curva elástica que se produce en vigas sometidas a cargas.

Vigas con soportes simples (biapoyadas)

En las siguientes fórmulas E designa al módulo de Young del material en que está construida la viga, e I al segundo momento de área de la sección transversal de la misma y L la luz de la viga:

Tipo de carga	Pendiente	Deformación	Curva elástica
Viga con carga concentrada P a media longitud	$\theta \ _{1}=-\theta \ _{2}=-{\frac {PL^{2}}{16EI}}$	$y_{\max }={\frac {-PL^{3}}{48EI}}$ para $x={\frac {L}{2}}$	$y=-{\frac {PxL^{2}}{16EI}}\left(1-{\frac {4}{3}}{\frac {x^{2}}{L^{2}}}\right)\quad x<{\frac {L}{2}}$
Viga con carga concentrada en cualquier longitud	$\theta \ _{1}=-{\frac {Pab\left(L+b\right)}{6EIL}}$	$y_{\max }=-{\frac {P}{9EI}}{\frac {b}{{\sqrt {3}}L}}(L^{2}-b^{2})^{\frac {3}{2}}$ para $x={\sqrt {\frac {L^{2}-b^{2}}{3}}}$	$y=-{\frac {PLbx}{6EI}}\left(1-{\frac {b^{2}+x^{2}}{L^{2}}}\right)\quad x<a$
Viga con carga distribuida constante sobre toda su longitud	$\theta _{\max }=-{\frac {qL^{3}}{24EI}}$	$y_{\max }=-{\frac {-5qL^{4}}{384EI}}$	$y(x)=-{\frac {qx}{24EI}}\left(x^{3}-2Lx^{2}+L^{3}\right)$
Viga con momento aplicado al inicio	$\theta \ _{1}={\frac {M_{0}L}{3EI}}$ $\theta _{2}=-{\frac {M_{0}L}{6EI}}$	$y_{\max }={\frac {M_{0}L^{2}}{9{\sqrt {3}}EI}}$ para $x=L\left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)$	$y={\frac {M_{0}L}{6EI}}(L-x)\left(1-{\frac {(L-x)^{2}}{L^{2}}}\right)$

Vigas en voladizo (ménsulas empotradas)

Tipo de carga	Pendiente	Deformación	Curva elástica
Ménsula con carga concentrada al extremo	$\theta \ _{\max }={\frac {-PL^{2}}{2EI}}$	$y_{\max }={\frac {-PL^{3}}{3EI}}$	$y={\frac {-Px^{2}}{6EI}}\left(3L-x\right)$
Ménsula con carga concentrada en un punto intermedio (a una distancia $a$ del extremo empotrado)	$\theta \ _{\max }={\frac {-Pa^{2}}{2EI}}$	$y_{\max }=-Pa^{2}{\frac {(3L-a)}{6EI}}$	cuando $x<a$: $y={\frac {-Px^{2}}{6EI}}\left(3a-x\right)$ cuando $x>a$: $y={\frac {-Pa^{2}}{6EI}}\left(3x-a\right)$
Ménsula con carga distribuida constante sobre toda su longitud	$\theta \ _{\max }={\frac {-wL^{3}}{6EI}}$	$y_{\max }={\frac {-wL^{4}}{8EI}}$	$y={\frac {-wx^{2}}{24EI}}\left(x^{2}-4Lx+6L^{2}\right)$
Ménsula con carga distribuida constante sobre parte de su longitud	$\theta \ _{\max }={\frac {-w}{6EI}}\left(a^{3}-15c^{3}+3ac(a+c)\right)$ $y_{\max }={\frac {-wca^{2}}{3EI}}\left(L(3+{\frac {c^{2}}{a^{2}}})-a(1+{\frac {c^{2}}{a^{2}}})\right)$
Ménsula con un momento puntal M0 en el extremo	$\theta \ _{\max }=-{\frac {M_{0}L}{EI}}$	$y_{\max }=-{\frac {M_{0}L^{2}}{2EI}}$	$y(x)=-{\frac {-M_{0}x^{2}}{2EI}}$
Ménsula con un momento puntal M0 en el vano	$\theta \ _{\max }=-{\frac {M_{0}a}{EI}}$	$y_{\max }=-{\frac {M_{0}a^{2}}{2EI}}-{\frac {M_{0}ab}{EI}}$	$y(x)={\begin{cases}-{\cfrac {-M_{0}x^{2}}{2EI}}&x\leq a\\-{\cfrac {M_{0}a^{2}}{2EI}}-{\cfrac {M_{0}a(x-a)}{EI}}&a\leq x\leq L\end{cases}}$

Vigas biempotradas

Las vigas biempotradas son casos de vigas hiperestáticas que requieren la determinación de los momentos de empotramiento, antes de poder calcular directamente las pendientes y los desplazamientos sobre las mismas.

Tipo de carga	Reacciones	Pendiente, desplazamiento máximo y curva elástica
Biempotrada con carga uniforme en una porción simétricamente distribuida	$R_{A}=+{\frac {qL}{2}}R_{B}=+{\frac {qL}{2}}$ $M_{A}=+{\frac {qL^{2}}{12}},\ M_{B}=-{\frac {qL^{2}}{12}}$ $M_{f}(x)=-{\frac {qL^{2}}{12}}+{\frac {qx(L-x)}{2}}$	$\theta \ _{\max }={\frac {{\sqrt {3}}qL^{3}}{216}}$ $y_{\max }=-{\frac {qL^{4}}{384EI}}$ $y=-{\frac {qx^{2}}{24EI}}(L-x)^{2}$
Biempotrada con carga uniforme en una porción asimétricamente distribuida		$\theta \ _{\max }=$ $y_{\max }=$ $y=$

Véase también

• Fibra neutra

Enlaces externos

• Prontuario de solicitaciones y deformaciones en vigas

• Datos: Q15731029