Parametrización de Weierstrass-Enneper

procedimiento de generación de superficies mínimas

En matemáticas, la parametrización de Weierstrass-Enneper de superficies mínimas es una pieza clásica de la geometría diferencial.

La parametrización de Weierstrass facilita la generación de superficies mínimas periódicas

Alfred Enneper y Karl Weierstraß estudiaron superficies mínimas ya en 1863.

Propiedades

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Sean   y   dos funciones en todo el plano complejo o en el disco unitario, donde   es meromorfa y   es analítica, de modo que dondequiera que   tenga un polo de orden  ,   tenga un cero de orden   (o equivalentemente, tal que el producto   es holomorfo), y sean   constantes. Entonces, la superficie con coordenadas   es mínima, donde las   se definen usando la parte real de una integral compleja, de la siguiente manera:

 

Lo contrario también es cierto: a cada superficie mínima no plana definida sobre un dominio simplemente conexo se le puede dar una parametrización de este tipo.[1]

Por ejemplo, la superficie de Enneper tiene f(z)= 1, g(z)= zm.

Superficie paramétrica de variables complejas

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Las líneas de curvatura forman una cuadrangulación del dominio

El modelo de Weierstrass-Enneper define una superficie mínima   ( ) en un plano complejo ( ). Sea   (el plano complejo como el espacio  ), la matriz jacobiana de la superficie se puede escribir como una columna de entradas complejas:

 

donde   y   son funciones holomorfas de  .

El jacobiano   representa los dos vectores tangentes ortogonales de la superficie:[2]

 

La superficie normal está dada por

 

El jacobiano   conduce a una serie de propiedades importantes:  ,  ,  ,  . Las demostraciones se pueden encontrar en el ensayo de Sharma: la representación de Weierstrass siempre da una superficie mínima.[3]​ Las derivadas se pueden utilizar para construir la matriz de la primera forma fundamental:

 

y la matriz de la segunda forma fundamental

 

Finalmente, un punto   en el plano complejo se asigna a un punto   en la superficie mínima en   mediante

 

donde   para todas las superficies mínimas del documento, excepto en la superficie mínima de Costa, en la que  .

Superficies mínimas embebidas y ejemplos

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El dominio fundamental (C) y las superficies 3D. Las superficies continuas están hechas de copias de la celda fundamental (R3)
 
Una catenaria que abarca puntos periódicos de una hélice, que se gira a lo largo de la hélice para producir una superficie mínima

Los ejemplos clásicos de superficies mínimas completas embebidas en   con topología finita incluyen el plano, la catenoide, el helicoide y la superficie mínima de Costa. La superficie de Costa involucra a las funciones elípticas de Weierstraß  :[4]

 
 

donde   es una constante.[5]

Helicatenoide

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Eligiendo las funciones   y   se obtiene una familia de superficies mínimas de un parámetro

 
 
 
 

Eligiendo los parámetros de la superficie como  :

 

En los extremos, la superficie es una catenoide   o un helicoide  . De lo contrario,   representa un ángulo de la mezcla. La superficie resultante, con un dominio elegido para evitar la autointersección, es una catenaria que gira alrededor del eje   de forma helicoidal.

Líneas de curvatura

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Se puede reescribir cada elemento de la segunda matriz fundamental en función de   y  , por ejemplo

 

Y en consecuencia, la segunda matriz de forma fundamental se puede simplificar como

 

Uno de sus vectores propios es  , que representa la dirección principal en el dominio complejo.[6]​ Por lo tanto, las dos direcciones principales en el espacio   resultan ser

 

Véase también

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Referencias

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  1. Dierkes, U.; Hildebrandt, S.; Küster, A.; Wohlrab, O. (1992). Minimal surfaces I. Springer. p. 108. ISBN 3-540-53169-6. 
  2. Andersson, S.; Hyde, S. T.; Larsson, K.; Lidin, S. (1988). «Minimal Surfaces and Structures: From Inorganic and Metal Crystals to Cell Membranes and Biopolymers». Chem. Rev. 88 (1): 221-242. doi:10.1021/cr00083a011. 
  3. Sharma, R. (2012). «The Weierstrass Representation always gives a minimal surface». arXiv:1208.5689  [math.DG]. 
  4. Lawden, D. F. (2011). Elliptic Functions and Applications. Applied Mathematical Sciences 80. Berlin: Springer. ISBN 978-1-4419-3090-3. 
  5. Abbena, E.; Salamon, S.; Gray, A. (2006). «Minimal Surfaces via Complex Variables». Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. Boca Raton: CRC Press. pp. 719-766. ISBN 1-58488-448-7. 
  6. Hua, H.; Jia, T. (2018). «Wire cut of double-sided minimal surfaces». The Visual Computer 34 (6–8): 985-995. S2CID 13681681. doi:10.1007/s00371-018-1548-0.