Orden total acotado

En matemáticas, un conjunto presenta un orden total acotado respecto a una relación binaria cuando tiene un orden total y está acotado superior e inferiormente.^[1]^[2]

Definición

Dado un conjunto A y una relación binaria $\precsim$ definida entre los elementos de A, que expresaremos $(A,\precsim )$ y la relación se representa:

a\precsim b

Se dice que se ha definido un orden total acotado en el conjunto A, si la relación $(A,\precsim )$ cumple las propiedades:

Relación reflexiva

\forall x\in A\;:\quad x\precsim x

Relación antisimétrica

\forall x,y\in A\;:\quad x\precsim y\quad \land \quad y\precsim x\quad \longrightarrow \quad x=y

Relación transitiva

\forall x,y,z\in A\;:\quad x\precsim y\quad \land \quad y\precsim z\quad \longrightarrow \quad x\precsim z

Relación total

\forall x,y\in A\;:\quad x\precsim y\quad \lor \quad y\precsim x

y Acotado

Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria $\precsim$ , siendo $(A,\precsim )$ un conjunto totalmente ordenado.

El elemento y de A es máximo si se cumple que:

y\in A\;es\;m{\acute {a}}ximo\;si:\quad \forall x\in A\;:\quad x\precsim y

Se denomina máximo y define una cota superior en A; el elemento máximo es único. Si el conjunto A y la relación binaria $\precsim$ , que expresaremos $(A,\precsim )$ es un orden total y tiene máximo, entonces es un conjunto con orden total y acotado superiormente.

Del mismo modo el elemento z de A que cumple:

z\in A\;es\;m{\acute {\imath }}nimo\;si:\quad \forall x\in A\;:\quad z\precsim x

Se denomina mínimo y define una cota inferior en A; el elemento mínimo es único. Si el conjunto A y la relación binaria $\precsim$ , que expresaremos $(A,\precsim )$ es un orden total y tiene mínimo, entonces es un conjunto con orden total y acotado inferiormente.

Un conjunto con orden total solo se dice acotado, si está acotado superior e inferiormente.

Véase también

Relación matemática

Relación binaria

Conjunto preordenado

Conjunto parcialmente ordenado

Orden total

Acotado

Referencias

↑ Barrantes, Hugo. «1». Introducción a las Matemáticas (1 edición). EUNED. p. 42. ISBN 978-99-6831-173-1.
↑ Aledo Sánchez, Juan Ángel; Penabad, Jaime; Valverde Fajardo, José Carlos; Villaverde Tomé, José Javier (2009). «1.3». Álgebra y Matemática Discreta (1 edición). Ediciones de la Universidad de Castilla La Mancha. p. 23. ISBN 978-87-8427-717-0 |isbn= incorrecto (ayuda).

Bibliografía

Pérez Lluberes, Kreemly; López Ferreira, María Altagracia (1984). Algebra superior (1 edición). INTEC. ISBN 978-84-8952-514-6.
Ralph P. Grimaldi (1998). Matemáticas discreta y combinatoria (3 edición). S.A. ALHAMBRA MEXICANA. ISBN 978-96-8444-324-2.
Restrepo, Guillermo (2003). Fundamentos de las matemáticas (1 edición). Universidad del Valle. ISBN 958-670-215-4.