En matemáticas, para todo operador lineal sobre un espacio de Hilbert puede definirse su operador adjunto. Este es una generalización del concepto de matriz adjunta al caso de espacios de dimensión infinita.

El adjunto de un operador A, también llamado Adjunto hermítico o Conjugado hermítico (en honor a Charles Hermite) de A se denota por A* o por A, este último especialmente usado cuando se utiliza junto a la notación Notación de Dirac o Bra-Ket, común en la Mecánica Cuántica.

Definición

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Para definir el operador adjunto a un operador lineal dado, se ha de especificar el dominio de dicho operador y sus imágenes:

Sea A : DAHH un operador lineal sobre un espacio de Hilbert y sea xH un vector de dicho espacio. Si para cada vector yDA en el dominio de A se tiene:

 

para algún zH en el espacio, entonces se dice que x está en el dominio del operador adjunto de A, A*,[1]​ y que z es la imagen de x por dicho operador:

 

Nótese que ha de probarse que, tal y como aparecen en la definición, DA* es un subespacio, y que el operador A* es lineal.

Ejemplos.

 

dentro del subespacio DPL2 de funciones derivables cuya derivada esté a su vez en L2. El producto escalar de Pf con otra función g es:

 

y puede aplicarse entonces integración por partes siempre que g sea derivable:

 

Para que g esté en el dominio del operador adjunto P*, además de ser derivable, –ig' ha de pertenecer a L2. Por lo tanto, el subespacio DP* es igual a DP, y el operador P* actúa del mismo modo que P, por lo que son idénticos (es decir, el operador P es autoadjunto).

Referencias

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  1. Es común también la notación A, «A daga».
  • Akhiezer, N.I.; Glazman, I.M. (1993). Theory of Linear Operators in Hilbert Space (en inglés). Dover Publications. ISBN 0-486-67748-6.