Norma de un cuerpo

aplicación que hace corresponder los elementos de un cuerpo en un subcuerpo

En matemáticas, la norma de un cuerpo es una aplicación particular definida en teoría de cuerpos, que hace corresponder elementos de un cuerpo más grande en un subcuerpo.

Definición formal

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Sea K un cuerpo y L una extensión finita (y por lo tanto, una extensión algebraica) de K.

El cuerpo L es entonces un espacio vectorial de dimensión finita sobre K.

La multiplicación por α, un elemento de L,

 
 ,

es una K-aplicación lineal de este espacio vectorial sobre sí mismo.

La norma, NL/K(α), se define como el determinante de esta aplicación lineal.[1]

Si L/K es una extensión de Galois, se puede calcular la norma de α ∈ L como el producto de todos los elementos conjugados de α:

 

donde Gal(L/K) denota el grupo de Galois de L/K.[2]​ (téngase en cuenta que puede haber una repetición en los términos del producto)


Para una extensión de cuerpos general L/K, y α distinto de cero en L,

sean σ1(α), ..., σn(α) las raíces del polinomio mínimo de α sobre K (las raíces enumeradas con multiplicidad se encuentran en algunos cuerpos de extensión de L); luego

 .

Si L/K es separable, entonces cada raíz aparece solo una vez en el producto (aunque el exponente, el grado [L: K (α)], todavía puede ser mayor que 1).

Ejemplos

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Extensiones de cuerpo cuadráticas

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Uno de los ejemplos básicos de normas proviene de las extensiones de un cuerpo cuadrático   donde   es un número entero libre de cuadrados.

Entonces, la aplicación de multiplicar por   un elemento   es

 

El elemento   se puede representar mediante el vector

 

ya que existe una descomposición de suma directa   como un espacio vectorial  .

La matriz de   es entonces

 

y la norma es  , ya que es el determinante de esta matriz.

Norma de Q(2)

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En este ejemplo, la norma es el cuadrado de la norma habitual de distancia euclídea en  .

En general, la norma de un cuerpo es muy diferente a la norma de distancia usual.

Este hecho se puede ilustrar con un ejemplo donde la norma del cuerpo puede ser negativa.

Considérese el cuerpo de números algebraicos  .

El grupo de Galois de   sobre   tiene orden   y es generado por el elemento que aplica   sobre  .

Entonces la norma de   es:

 

La norma de un cuerpo también se puede obtener sin el grupo de Galois.

Dispóngase una base   de  , tal que:

 .

Entonces, se define la multiplicación por el número que aplica  

1 a   y
  a  .

Entonces el determinante de multiplicar por   es el determinante de la matriz que envía el vector

  (correspondiente al primer elemento base, es decir, 1) a  ,
  (correspondiente al segundo elemento base, es decir,  ) a  ,

En consecuencia:

 

El determinante de esta matriz es −1.

K-ésima raíz de las extensiones de un cuerpo

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Otra clase fácil de ejemplos proviene de la extensión de cuerposs de la forma   donde la factorización prima de   no contiene potencias  -th.

La aplicación de la multiplicación por   de un elemento es

 

dando la matriz

 

El determinante proporciona la norma

 

Números complejos sobre los reales

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La norma de cuerpo de los números complejos sobre los números reales hace corresponder a

x + iy

el número real

x2 + y2,

porque el grupo de Galois de   sobre   tiene dos elementos,

  • El elemento de identidad y
  • La conjugación compleja

Tomando el producto se obtiene (x + iy)(xiy) = x2 + y2.

Cuerpos finitos

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Sea L = GF(qn) una extensión finita de un cuerpo finito K = GF(q).

Dado que L/K es una extensión de Galois, si α está en L, entonces la norma de α es el producto de todos los elementos conjugados de α, es decir[3]

 

En este entorno se dispone de las propiedades adicionales,[4]

  •  
  •  

Propiedades de la norma

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Varias propiedades de la función norma son válidas para cualquier extensión finita.[5][6]

Homomorfismo de grupo

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La norma NL/K: L*→K* es un homomorfismo de grupos del grupo multiplicativo de L sobre el grupo multiplicativo de K, es decir

 

Además, si a en K:

 

Si aK entonces  

Composición con extensiones de cuerpo

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Además, la norma se comporta bien en torres de cuerpos:

si M es una extensión finita de L, entonces la norma de M sobre K es solo la composición de la norma de M sobre L con la norma de L sobre K, es decir

 

Reducción de la norma

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La norma de un elemento en una extensión de cuerpos arbitraria se puede reducir a un cálculo más sencillo si ya se conoce el grado de la extensión de cuerpos. Esto es

 [6]

Por ejemplo, para   en una extensión de cuerpos  , la norma de   es

 

ya que el grado de la extensión de cuerpos   es  .

Detección de unidades

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Un elemento   es una unidad si y solo si  .

Por ejemplo

 

donde

 .

Entonces, cualquier cuerpo numérico   que contenga   lo tiene como una unidad.

Otras propiedades

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La norma de un número entero algebraico es nuevamente un número entero, porque es igual (salvo el signo) al término constante del polinomio característico.

En teoría de números algebraicos se definen también normas para los ideales.

Esto se hace de tal manera que si I es un ideal distinto de cero de OK, el anillo de los números enteros del cuerpo de números algebraicos K, N(I) es el número de clases de residuos en   es decir, la cardinalidad de este anillo finito.

Por lo tanto, esta norma de un ideal es siempre un número entero positivo.

Cuando I es un ideal principal αOK, entonces N(I) es igual al valor absoluto de la norma sobre Q de α, siendo α un número entero algebraico.

Véase también

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Referencias

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  1. Rotman, 2002, p. 940
  2. Rotman, 2002, p. 943
  3. Lidl y Niederreiter, 1997, p. 57
  4. Mullen y Panario, 2013, p. 21
  5. Roman, 1995, p. 151 (1st ed.)
  6. a b Oggier. Introduction to Algebraic Number Theory. p. 15. Archivado desde el original el 23 de octubre de 2014. Consultado el 5 de mayo de 2021. 

Bibliografía

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Enlaces externos

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