Medida sigma-finita

En teoría de la medida, una medida sigma-finita ($\sigma$-finita) de un cierto espacio de medida es una medida tal que el espacio se puede obtener como unión numerable de conjuntos de medida finita. Trabajar sobre espacios medibles equipados con una medida $\sigma$-finita es interesante, pues hay muchos resultados que trabajan sobre ellos, trayendo consigo consecuencias importantes, como por ejemplo, el Teorema de Fubini.

Definición

Sea $\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)$ un espacio de medida. Se dice que $\mu$ es una medida $\sigma$-finita (o simplemente diremos que $\mu$ es $\sigma$-finita) si

${\textstyle \displaystyle X=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\;,\,{\text{donde }}\left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {A}}{\text{ con }}\mu \left(A_{n}\right)<\infty \;,\forall n\geq 1}$

Así, si $\mu$ es $\sigma$-finita, diremos que el espacio $\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)$ es un espacio de medida $\sigma$-finito.​

Ejemplos

1. El espacio $\left(\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{d}\right),\lambda \right)$ es un espacio $\sigma$-finito, donde ${\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{d}\right)$ es la $\sigma$-álgebra de Borel sobre $\mathbb {R} ^{d}$, y $\lambda$ es la medida de Lebesgue sobre $\mathbb {R} ^{d}$. En efecto, denotemos a la bola abierta centrada en $x\in \mathbb {R}$ y radio $r>0$ por $B\left(x,r\right)=\left\{y\in \mathbb {R} \colon ||x-y||<r\right\}$, donde $||\cdot ||$ denota la norma euclidiana sobre $\mathbb {R} ^{d}$. Como sobre $\left(\mathbb {R} ^{d},\tau _{\mathbb {R} ^{d}}\right)$ se tiene que una base para la topología $\tau _{\mathbb {R} ^{d}}$ es la familia formada por bolas abiertas, tenemos que, existe $r>0$ tal que $\mathbb {R} ^{d}=\bigcup _{x\in \mathbb {R} ^{d}}B(x,r)$, teniendo que $\lambda \left(B(x,r)\right)<\infty$. Por tanto, $\left(\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{d}\right),\lambda \right)$ es un espacio $\sigma$-finito.

Referencias

• Datos: Q291430