Matriz nilpotente

En álgebra lineal, una matriz $N\in M_{n.n}(K)$ se dice que es nilpotente si existe $k\in \mathbb {N}$ tal que $N^{k}=0\,$. Se llama índice de nilpotencia o se dice que $N$ es de índice (o de orden) $k$ y se define como $min\{k\in \mathbb {N} /N^{k}=0\}$.

Teorema

Si $A\,$ es una matriz nilpotente, entonces su determinante es cero. Que el determinante sea cero es una condición necesaria para ser una matriz nilpotente, aunque no es una condición suficiente.

Demostración

Si A es una matriz nilpotente de orden k, se sigue que $A^{k}=0\,$. Por lo tanto, $\det(A^{k})=0\,$. Luego, $\det(A)^{k}=0\,$ por lo que $\det(A)=0\,$.

El recíproco no es cierto; por ejemplo, la matriz

$S={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}$

tiene determinante igual a cero, pero no es nilpotente. Una condición necesaria y suficiente es que la matriz no tenga autovalores diferentes de cero, en ese caso la matriz es nilpotente.

Ejemplos

La matriz

$M={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$

es nilpotente, ya que M² = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con ceros a lo largo de la diagonal principal es nilpotente. Por ejemplo, la matriz

$N={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

es nilpotente, con

$N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.$

Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de ceros en las entradas, no todas las matrices nilpotentes lo tienen. Por ejemplo, las matrices

${\begin{bmatrix}6&-9\\4&-6\end{bmatrix}}\qquad {\text{y}}\qquad {\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}$

ambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.

Propiedades adicionales

• Si N es nilpotente, entonces I + N es invertible, donde I es la matriz identidad de orden n (n × n). El inverso viene dado por:

$(I+N)^{-1}=I-N+N^{2}-N^{3}+\cdots ,$

donde sólo un número finito de términos del desarrollo anterior es diferente de cero.

• Si N es nilpotente, entonces

$\det(I+N)=1,\!\,$

donde I es de nuevo la matriz identidad de orden n. Recíprocamente, si A es una matriz y

$\det(I+tA)=1\!\,$

para todos los valores de t, entonces A es nilpotente.

• Toda matriz singular (con determinante nulo) puede escribirse como producto de matrices nilpotentes.​

Generalizaciones

Un operador lineal T es localmente nilpotente si para todo vector v, existe un k tal que

$T^{k}(v)=0.\!\,$

Para operadores sobre espacios vectoriales de dimensión finita, la nilpotencia local equivale a la nilpotencia convencional.

Referencias

• Matriz nilpotente y transformación nilpotente en PlanetMath. (en inglés)

• Datos: Q650670