Matriz antihermitiana

En álgebra lineal, una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

$(A^{T})^{*}$ $=-A$

o en su forma componente, si ( $A=a_{i,j}$ ):

a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}

Para todas las i y las j.

Ejemplo

Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz antihermitiana:

{\begin{pmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{pmatrix}}

Propiedades

1. Los autovalores de una matriz antihermitiana son todos imaginarios puros. Es más, las matrices antihermitianas son matrices normales. Por lo tanto, son diagonalizables y sus autovectores para distintos autovalores son ortogonales.
2. Si A es antihermitiana entonces iA es hermitiana.
3. Si A,B es antihermitiana, entonces aA+bB es antihermitiana para todos los escalares reales de a,b.
4. Si A es antihermitiana, entonces A^2k es hermitiana para todos los naturales k.
5. Si A es antihermitiana, entonces A^2k+1 es antihermitiana para todos los naturales k.
6. Si A es antihermitiana, entonces e^A es matriz unitaria.
7. La diferencia entre una matriz y su traspuesta conjugada ( $C-C^{*}$ ) es antihermitiana.
8. Una matriz cuadrada arbitraria C puede ser escrita como la suma de la matriz hermitiana A y la matriz antihermitiana B:

C=A+B\quad {\mbox{para}}\quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{*})\quad {\mbox{y}}\quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{*}).

Véase también

Datos: Q2268788