Desigualdad de las medias aritmética y geométrica

En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales.

Demostración visual de la desigualdad de las medias aritmética y geométrica.

Media aritmética y media geométrica

La media aritmética de un conjunto de números reales ${x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ es igual a la suma dividida por el número total de elementos,

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.$

La media geométrica de un conjunto de reales no negativos ${x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}$, es igual a la raíz enésima del producto de todos ellos:

${\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.$

La desigualdad

Sea ${x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}$ entonces

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.$

La igualdad se cumple si y sólo si ${x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$.

Demostración por inducción

Para demostrar la desigualdad MA-MG, se desarrollará por una variante del método de inducción matemática, demostrando que la MA-MG es cierta para 2 elementos, luego generalizándolo para 2n elementos y demostrando que si es cierta para n es cierta para n-1 elementos (variante "adelante-atrás" según Augustin Louis Cauchy).

Sea ${x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}$ un conjunto de n elementos.

Procedemos a considerar el primer paso en que n=2:

$(x_{1}-x_{2})^{2}\geq 0$

$x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 0$

$x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 4x_{1}x_{2}$

$(x_{1}+x_{2})^{2}\geq 4x_{1}x_{2}$

${\frac {(x_{1}+x_{2})^{2}}{4}}\geq x_{1}x_{2}$

${\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{x_{1}x_{2}}}$

Quedando así demostrado para n=2, luego se demuestra que si es cierta para n es cierta para 2n elementos.

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2n}}{2n}}\geq {\sqrt[{2n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2n}}}$

${\frac {{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}}+{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}}{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}}$

Siguiendo la hipótesis,

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$

Se sigue que,

${\frac {{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}}+{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{{\sqrt[{n}]{(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})}}{\sqrt[{n}]{(x_{n+1}x_{n+2}\cdots x_{2n})}}}}$

Siendo esto igual a,

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2n}}{2n}}\geq {\sqrt[{2n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2n}}}$

Quedando así demostrado que si es cierto para n elementos es cierto para 2n elementos.

Ahora procedemos a demostrar que si es cierta para n elementos es cierta para n-1 elementos,

Sean ${x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1}}\in \mathbb {R} ^{+}$ y $x_{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}$

Se considera la desigualdad de todos los elementos mencionados,

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}$

${\frac {(n-1)x_{1}+(n-1)x_{2}+\cdots +(n-1)x_{n-1}+x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{(n-1)n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}$

${\frac {nx_{1}+nx_{2}+\cdots +nx_{n-1}}{(n-1)n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}$

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}$

$({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})^{\frac {n-1}{n}}\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})^{\frac {1}{n}}$

$({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})^{\frac {n-1}{1}}\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})$

Haciendo raíz n-1-ésima se sigue,

$({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})^{\frac {1}{n-1}}$

Quedando así demostrado por el método inductivo, la veracidad de la desigualdad MA-MG.

${\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}},\forall n\in \mathbb {N}$ Q.E.D.

Véase también

• Media

• Desigualdad matemática

• Media aritmética

• Media geométrica

• Inducción matemática

Referencias

• Oleksandr, karlein.Rondero Guerrero, Carlos.Tarasenko, Anna. (2008). Desigualdades, métodos de cálculo no tradicionales". Díaz de Santos. ISBN 978-84-7978-807-0

• Datos: Q841170