Método de la transformada inversa

El método de la transformada (o transformación) inversa, también conocido como método de la transformada integral de probabilidad inversa,[1]​ es un método para la generación de números aleatorios de cualquier distribución de probabilidad continua cuando se conoce la inversa de su función de distribución (cdf). Este método es en general aplicable, pero puede resultar muy complicado obtener una expresión analítica de la inversa para algunas distribuciones de probabilidad. El método de Box-Muller es un ejemplo de algoritmo que aunque menos general, es más eficiente desde el punto de vista computacional.[2]

Método de la transformada inversa.

El método se utiliza para simular valores de las distribuciones exponencial, Cauchy, triangular, de Pareto y Weibull.

Método

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El problema que resuelve el método de la transformada inversa es el siguiente:

  • Sea   una variable aleatoria cuya distribución puede ser descrita por la función de distribución  .
  • Se desea generar valores de   que están distribuidos según dicha distribución.

El método de la transformada inversa funciona de la siguiente manera:

  1. Se genera un número aleatorio   a partir de la distribución uniforme en el intervalo  , esto es  .
  2. Se halla la inversa de la función de distribución, esto es,  .
  3. Calcular  , esta variable aleatoria   tiene distribución  .

Expresado de manera diferente, dada una variable aleatoria continua   en   y una función de distribución invertible  , la variable aleatoria   tiene distribución  .

 
La función inversa de   puede ser escrita como  .

Intuición

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De   queremos generar   con función de distribución  , donde asumimos que   es una función estrictamente creciente.

Queremos ver si podemos hallar una transformación estrictamente monótona   tal que   entonces tendremos

 

para   donde en el último paso se utilizó que   cuando   es uniforme en  .

Entonces obtuvimos que   es la inversa de la función   o equivalentemente  

Caso Continuo

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Considérese que se desea generar una variable aleatoria continua   con función de distribución  , para generar a  , se considera el método de la transformada inversa basado en el siguiente teorema.

Teorema

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Sea   una variable aleatoria uniforme en  , para cualquier función de distribución continua invertible  , la variable aleatoria   definida como  tiene distribución  , donde   se define como el valor de   tal que  .

Demostración

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Sea   la función de distribución de   entonces

 

como   es una función de distribución entonces   es una función monótona creciente de   entonces

 

Este teorema muestra que para generar una variable aleatoria   a partir de la función de distribución continua  , generemos un número aleatorio   y hacemos entonces  .

Caso Discreto

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Supóngase que queremos generar el valor valor de una variable aleatoria discreta   con función de probabilidad

 

con   y

 

Para esto, generamos un número aleatorio  , esto es,   y se define

 

Como   para  entonces

 

por lo tanto   tiene la distribución deseada.

 
Ejemplo del método de la tranformada inversa para una variable aleatória geométrica discreta con  

Ejemplos

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Ejemplo 1

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Supóngase que se tiene una variable aleatoria   y una función de distribución

 

Para poder aplicar el método, debemos resolver  

 

a partir de aquí, ya podemos aplicar los pasos uno, dos y tres antes mencionados

Ejemplo 2

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Si   es una variable aleatoria exponencial con parámetro  , esto es,   entonces su función de distribución está dada por

 

Si hacemos   entonces

 

esto es

 

por lo tanto, para generar una variable aleatoria exponencial con parámetro  , generamos un número aleatorio   y hacemos

 

Recordemos que si   entonces  , aplicando este resultado obtenemos

 

a partir de aquí, ya podemos aplicar los pasos uno, dos y tres antes mencionados.

Véase también

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Referencias

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  1. Aalto University, N. Hyvönen, Computational methods in inverse problems. Twelfth lecture https://noppa.tkk.fi/noppa/kurssi/mat-1.3626/luennot/Mat-1_3626_lecture12.pdf
  2. Luc Devroye. Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag, 1986

Enlaces externos

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