Ley de Grashof

La Ley de Grashof establece que un mecanismo de cuatro barras tiene al menos una articulación de revolución completa, si y solo si la suma de las longitudes de la barra más corta y la barra más larga es menor o igual que la suma de las longitudes de las barras restantes.

Demostración

Análisis de una articulación de revolución completa

Dado un mecanismo cualquiera de cuatro barras ABCD consecutivas, se analizara la articulación AB. Se define $\alpha$ como el ángulo relativo entre las barras A y B, $\beta$ como el ángulo relativo entre C y D, y $\delta$ como la distancia entre las articulaciones BC y AD.

Se sabe que por el teorema del coseno:

\delta ^{2}=A^{2}+B^{2}-2AB\cos \alpha \quad y\quad \delta ^{2}=C^{2}+D^{2}-2CD\cos \beta

siendo el coseno una función acotada superiormente por uno, se puede afirmar entonces la siguiente inecuación:

C^{2}+D^{2}-2CD\leq \delta ^{2}

con el desarrollo del binomio del cuadrado de la resta se deduce (aplicando la raíz cuadrada a ambos términos de la inecuación):

|C-D|\leq \delta

Se puede observar también de la llamada desigualdad triangular que:

\delta \leq C+D

de ambas se deduce:

|C-D|\leq \delta \leq C+D

Si se supone que la articulación AB es de revolución completa, entonces

\delta _{min}=|A-B|\ \quad y\quad \delta _{max}=A+B

Finalmente, se obtienen las relaciones necesarias y suficientes para que la articulación AB sea de revolución completa:

|A-B|\geq |C-D|\ \quad y\quad A+B\leq C+D

.

Análisis de un mecanismo de cuatro barras de longitudes diferentes

Se toma un mecanismo de cuatro barras I, II, III y IV en cualquier orden tal que

$I>II>III>IV\quad (1)$ (Los casos particulares se analizan más adelante)

Hipotéticamente existen 6 tipos de articulaciones posibles: I*II, I*III, I*IV, II*III, II*IV y III*IV.

Y de la relación (1) se desprenden:

$I+II>III+IV\quad (2)$

$I+III>II+IV\quad (3)$

$II-III<I-IV\quad (4)$

I*II no es de revolución completa pues (2). Análogamente (3) y (4) impiden que I*III y II*III lo sean.

Analizando la articulación I*IV se nota que es necesario y suficiente que se cumplan (4) y

$I+IV<II+III\quad (5)$

o equivalentemente

$I-III<II-IV\quad (6)$

o

$I-II<III-IV\quad (7)$

Entonces son posibles articulaciones de revolución completa: I*IV, pues (4) y (5); II*IV, pues (3) y (6); y III*IV, pues (2) y (7).

Casos particulares

$I=II\neq III=IV\iff$

$I+II>III+IV\quad (2')$

$I+III=II+IV\quad (3')$

$II-III=I-IV\quad (4')$

Y como consecuencia la única articulación que no es de revolución completa es la I*II

análogamente se deduce que si las barras son todas de la misma longitud todas las articulaciones son de revolución completa.

Corolarios

Si cumple (5) además del teorema se cumple que:

Si las barras son todas distintas, entonces solo hay dos articulaciones de revolución completa y articulan a la barra más pequeña.
Si las barras son todas iguales, todas las articulaciones son de revolución completa.
Si hay un par de barras iguales, y el par de barras más grandes está articulado entre sí, entonces esta es la única articulación de revolución incompleta.

Véase también

Datos: Q11689006