Un árbol kd tridimensional. La primera división (rojo) corta la celda raíz (blanco) en dos subceldas, que son divididas a su vez (verde) en dos subceldas. Finalmente, cada una de esas cuatro es dividida (azul) en dos subceldas. Dado que no hay más divisiones, las ocho finales se llaman hojas. Las esferas amarillas representan los nodos del árbol.
Un árbol kd emplea sólo planosperpendiculares a uno de los ejes del sistema de coordenadas. Esto difiere de los árboles BSP, donde los planos pueden ser arbitrarios. Además, todos los nodos de un árbol kd, desde el nodo raíz hasta los nodos hoja, almacenan un punto. Mientras tanto, en los árboles BSP son las hojas los únicos nodos que contienen puntos (u otras primitivas geométricas). Como consecuencia, cada plano debe pasar a través de uno de los puntos del árbol kd.
Técnicamente, la letra k se refiere al número de dimensiones. Un árbol kd tridimensional podría ser llamado un árbol 3d. Sin embargo se suele emplear la expresión "árbol kd tridimensional". (También es más descriptivo, ya que un árbol tridimensional puede ser varias cosas, pero el término árbol kd se refiere a un tipo en concreto de árbol de particionado.) Las letras k y d se escriben en minúsculas, incluso al principio de una oración. La k se escribe en cursiva, aunque son también comunes las formas "árbol KD" y "árbol Kd".
Dado que hay muchas maneras posibles de elegir planos alineados a los ejes, hay muchas maneras de generar árboles kd. El sistema habitual es:
Conforme se desciende en el árbol, se emplean ciclos a través de los ejes para seleccionar los planos. (Por ejemplo, la raíz puede tener un plano alineado con el eje x, sus descendientes tendrían planos alineados con el y y los nietos de la raíz alineados con el z, y así sucesivamente)
En cada paso, el punto seleccionado para crear el plano de corte será la mediana de los puntos puestos en el árbol kd, lo que respeta sus coordenadas en el eje que está siendo usado.
Este método lleva a un árbol kd balanceado, donde cada nodo hoja está a la misma distancia de la raíz. De todas formas, los árboles balanceados no son necesariamente óptimos para todas las aplicaciones.
Dada una lista de n puntos, el siguiente algoritmo genera un árbol kd balanceado que contiene dichos puntos.
function kdtree (list of points pointList, int depth)
{
if pointList is emptyreturnnil;
else
{
// Select axis based on depth so that axis cycles through all valid valuesvarint axis := depth mod k;
// Sort point list and choose median as pivot elementsort pointList using predicate: point1[axis] < point2[axis];
choose median from pointList;
// Create node and construct subtreesvartree_node node;
node.location := median;
node.leftChild := kdtree(points in pointList before median, depth+1);
node.rightChild := kdtree(points in pointList after median, depth+1);
return node;
}
}
classNode:passdefkdtree(pointList,depth=0):ifnotpointList:return# Select axis based on depth so that axis cycles through all valid valuesk=len(pointList[0])# assumes all points have the same dimensionaxis=depth%k# Sort point list and choose median as pivot elementpointList.sort(key=lambdax:x[axis])median=len(pointList)/2# choose median# Create node and construct subtreesnode=Node()node.location=pointList[median]node.leftChild=kdtree(pointList[0:median],depth+1)node.rightChild=kdtree(pointList[median+1:],depth+1)returnnode
Este algoritmo crea el invariante para cualquier nodo. Todos los nodos en el subárbol de la izquierda están en un lado del plano de corte, y todos los nodos del subárbol de la derecha están en el otro lado. El plano de corte de un nodo pasa a través del punto asociado con ese nodo (referenciado en el código por node.location)
Los nodos se añaden a un árbol kd de la misma forma que se añaden a cualquier otro árbol. Primero, se recorre el árbol empezando por la raíz y siguiendo por el nodo de la izquierda o de la derecha dependiendo de si el punto que se quiere insertar está en la derecha o en la izquierda del plano de corte. Una vez que se llega a un nodo hoja, se añade el nuevo punto a la izquierda o a la derecha del nodo hoja, de nuevo dependiendo de en que lado del plano se encuentra el nuevo punto.
Hay que ser cuidadoso al equilibrar un árbol kd. Como estos árboles están ordenados en múltiples dimensiones, no se puede emplear la técnica de rotación de árboles para equilibrarlos — esto rompería el invariante.
En esta animación se representa como se busca el punto más próximo a otro punto dado (marcado en rojo). Aquí, el árbol ya está construido, cada vértice corresponde a un rectángulo, cada rectángulo se divide en dos subrectángulos iguales, y las hojas corresponden a rectángulos que contienen un solo punto. Implementación en CBR ( Razonamiento Basado En Casos)
Usar un árbol kd para encontrar todos los puntos que se encuentran en un rectángulo determinado (o análogo de más dimensiones). Esta operación también se denomina rango de búsqueda ortogonal.
En las regresiones locales es común evaluar la superficie contenida directamente solo por los vértices del árbol kd e interpolar en algún punto. Este uso, reflejado en la imagen de arriba, busca asegurar que sólo se realizarán las evaluaciones directas necesarias. Como los árboles kd se "adaptan" al espacio, este método puede suministrar una excelente aproximación a las verdaderas superficies de regresión local. Si la aproximación es pobre, puede mejorarse con más subdivisiones.
