Interior algebraico

En análisis funcional, una rama de las matemáticas, el interior algebraico o núcleo radial de un subconjunto de un espacio vectorial es un refinamiento del concepto de interior.

Definición

Supóngase que $A$ es un subconjunto de un espacio vectorial $X.$ El interior algebraico (o núcleo radial) de $A$ con respecto a $X$ es el conjunto de todos los puntos en los que $A$ es un conjunto radial. Un punto $a_{0}\in A$ se llama punto interno de $A$​​ y se dice que $A$ es radial desde $a_{0}$ si por cada $x\in X$ existe un número real $t_{x}>0$ tal que por cada $t\in [0,t_{x}],$ $a_{0}+tx\in A.$ Esta última condición también se puede escribir como $a_{0}+[0,t_{x}]x\subseteq A$ donde el conjunto

$a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}$

es el segmento rectilíneo (o intervalo cerrado) que comienza en $a_{0}$ y termina en $a_{0}+t_{x}x$. Este segmento es un subconjunto de $a_{0}+[0,\infty )x,$, que es el rayo que emana de $a_{0}$ en la dirección de $x$ (es decir, paralelo a/una traslación de $[0,\infty )x$).

Por lo tanto, geométricamente, un punto interior de un subconjunto $A$ es un punto $a_{0}\in A$ con la propiedad de que en cada dirección (vector) posible $x\neq 0,$ $A$ contiene algún segmento rectilíneo (no degenerado) que comienza en $a_{0}$ y se dirige en esa dirección (es decir, un subconjunto del rayo $a_{0}+[0,\infty )x$).

El interior algebraico de $A$ (con respecto a $X$) es el conjunto de todos esos puntos. Es decir, es el subconjunto de puntos contenidos en un conjunto dado respecto del cual los puntos del conjunto son radiales.​

Si $M$ es un subespacio lineal de $X$ y $A\subseteq X$, entonces esta definición se puede generalizar al interior algebraico de $A$ con respecto a $M$ es:​

$\operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ para todo }}m\in M,{\text{ existe algún }}t_{m}>0{\text{ tal que }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\}.$

donde $\operatorname {aint} _{M}A\subseteq A$ siempre se cumple y si $\operatorname {aint} _{M}A\neq \varnothing$, entonces $M\subseteq \operatorname {aff} (A-A),$ donde $\operatorname {aff} (A-A)$ es la envolvente afín de $A-A$ (que es igual a $\operatorname {span} (A-A)$).

Cierre algebraico

Se dice que un punto $x\in X$ es linealmente accessible de un subconjunto $A\subseteq X$ si existe algún $a\in A$ tal que el segmento rectilíneo $[a,x):=a+[0,1)x$ esté contenido en $A.$​. El cierre algebraico de $A$ con respecto a $X$, indicado por $\operatorname {acl} _{X}A,$, consta de $A$ y todos los puntos en $X$ a los que se puede acceder linealmente desde $A.$​.

Interior algebraico (núcleo)

En el caso especial en el que $M:=X,$, el conjunto $\operatorname {aint} _{X}A$ se denomina interior algebraico o núcleo de $A$ y se denota por $A^{i}$ o $\operatorname {\text{núcleo}} A.$.

Formalmente, si $X$ es un espacio vectorial, entonces el interior algebraico de $A\subseteq X$ es​

$\operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {\text{núcleo}} (A):=\left\{a\in A:{\text{ para todo }}x\in X,{\text{ existe algún }}t_{x}>0,{\text{ tal que para todo }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\}.$

Si $A$ no está vacío, entonces estos subconjuntos adicionales también son útiles para los enunciados de muchos teoremas en el análisis funcional convexo (como el teorema de Ursescu):

${}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{si }}\operatorname {aff} A{\text{ es un conjunto cerrado,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}$

${}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{si }}\operatorname {expan} (A-a){\text{ es un subespacio lineal abarrilado de }}X{\text{ para cualquier/todo }}a\in A{\text{,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}$

Si $X$ es un espacio de Fréchet, $A$ es convexo y $\operatorname {aff} A$ está cerrado en $X$, entonces ${}^{ic}A={}^{ib}A$ pero en general es posible tener ${}^{ic}A=\varnothing$ mientras ${}^{ib}A$ es no vacío.

Ejemplos

Si $A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{o }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, entonces $0\in \operatorname {\text{núcleo}} (A),$ pero $0\not \in \operatorname {int} (A)$ y $0\not \in \operatorname {\text{núcleo}} (\operatorname {{\text{núcleo}}(A)} ).$

Propiedades del núcleo

Supóngase que $A,B\subseteq X.$

• En general, $\operatorname {\text{núcleo}} A\neq \operatorname {\text{núcleo}} (\operatorname {\text{núcleo}} A).$ Pero si $A$ es convexo, entonces:
  • $\operatorname {\text{núcleo}} A=\operatorname {\text{núcleo}} (\operatorname {\text{núcleo}} A),$ y
  • para todos los $x_{0}\in \operatorname {\text{núcleo}} A,y\in A,0<\lambda \leq 1$ y luego $\lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {\text{núcleo}} A.$
• $A$ es un subconjunto absorbente de un espacio vectorial real si y solo si $0\in \operatorname {\text{núcleo}} (A).$​
• $A+\operatorname {\text{núcleo}} B\subseteq \operatorname {\text{núcleo}} (A+B)$​
• $A+\operatorname {\text{núcleo}} B=\operatorname {\text{núcleo}} (A+B)$ si $B=\operatorname {\text{núcleo}} B.$​

Tanto el núcleo como el cierre algebraico de un conjunto convexo son nuevamente convexos.​ Si $C$ es convexo, $c\in \operatorname {\text{núcleo}} C,$ y $b\in \operatorname {acl} _{X}C$, entonces el segmento rectilíneo $[c,b):=c+[0,1)b$ está contenido en $\operatorname {\text{núcleo}} C.$​

Relación con el interior topológico

Sea $X$ un espacio vectorial topológico, $\operatorname {int}$ denota el operador interior y $A\subseteq X$. Entonces:

• $\operatorname {int} A\subseteq \operatorname {\text{núcleo}} A$
• Si $A$ es convexo no vacío y $X$ es de dimensión finita, entonces $\operatorname {int} A=\operatorname {\text{núcleo}} A.$​
• Si $A$ es convexo con interior no vacío, entonces $\operatorname {int} A=\operatorname {\text{núcleo}} A.$​
• Si $A$ es un conjunto convexo cerrado y $X$ es un espacio métrico completo, entonces $\operatorname {int} A=\operatorname {\text{núcleo}} A.$​

Interior algebraico relativo

Si $M=\operatorname {aff} (A-A)$, entonces el conjunto $\operatorname {aint} _{M}A$ se denota por ${}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A$ y se llama el interior algebraico relativo de $A$.​ Este nombre surge del hecho de que $a\in A^{i}$ si y solo si $\operatorname {aff} A=X$ y $a\in {}^{i}A$ (donde $\operatorname {aff} A=X$ si y solo si $\operatorname {aff} (A-A)=X$).

Interior relativo

Si $A$ es un subconjunto de un espacio vectorial topológico $X$, entonces el interior relativo de $A$ es el conjunto

$\operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A.$

Es decir, el interior topológico de A en $\operatorname {aff} A,$ es el subespacio lineal afín más pequeño de $X$ que contiene a $A.$. El siguiente conjunto también es útil:

$\operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{si }}\operatorname {aff} A{\text{ es un subespacio cerrado de }}X{\text{,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}$

Interior cuasi relativo

Si $A$ es un subconjunto de un espacio vectorial topológico $X$, entonces el interior cuasi relativo de $A$ es el conjunto

$\operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{es un subespacio lineal de }}X\right\}.$

En un espacio vectorial topológico de dimensión finita de Hausdorff, $\operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A.$

Véase también

• Punto límite
• Interior (topología)
• Unidad de orden
• Interior cuasirrelativo
• Conjunto radial
• Interior relativo
• Teorema de Ursescu

Bibliografía

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• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
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• Datos: Q4724006