Homomorfismo topológico

aplicación lineal continua entre espacios vectoriales topológicos de modo que la aplicación inducida desde el dominio a la imagen sea una aplicación abierta

En análisis funcional, un homomorfismo topológico o simplemente homomorfismo (si el contexto así lo permite) es un concepto análogo al de homomorfismo en general, pero particularizado para la categoría de los espacios vectoriales topológicos (EVTs). Este concepto es de considerable importancia en el análisis funcional, y el teorema de la función abierta da una condición suficiente para que una aplicación lineal continua entre espacios de Fréchet sea un homomorfismo topológico.

Definiciones

editar

Un homomorfismo topológico es una aplicación lineal continua   entre espacios vectoriales topológicos (EVTs) de modo que la aplicación inducida   es abierta cuando  , (que es la imagen de  ), se le da la topología del subespacio inducida por  .[1]​ Este concepto es de considerable importancia en el análisis funcional y el conocido teorema de la función abierta da una condición suficiente para que una aplicación lineal continua entre espacios de Fréchet sea un homomorfismo topológico.

Un embebido de EVT o un monomorfismo topológico[2]​ es un homomorfismo topológico inyectivo. De manera equivalente, un embebido de EVT es una aplicación lineal que también es un embebido topológico.

Caracterizaciones

editar

Supóngase que   es un aplicación lineal entre EVTs, teniendo además en cuenta que   se puede descomponer en la composición de las siguientes aplicaciones lineales canónicas:

 

donde   es la clase de equivalencia canónica y   es la aplicación inclusiva.

Los siguientes enunciados son equivalentes:

  1.   es un homomorfismo topológico
  2. Para cada base del entorno del origen   en  ,   es una base del entorno del origen en  .[1]
  3. La aplicación inducida   es un isomorfismo de EVTs.[1]

Si además el rango de   es un espacio de Hausdorff de dimensión finita, entonces las proposiciones siguientes son equivalentes:

  1.   es un homomorfismo topológico.
  2.   es continuo.[1]
  3.   es continuo en el origen.[1]
  4.   está cerrado en  .[1]

Condiciones suficientes

editar

Teorema[1]

Sea   una aplicación lineal continua sobreyectiva de un espacio LF   a un EVT  . Si   también es un espacio LF o si   es un espacio de Fréchet, entonces   es un homomorfismo topológico.

Teorema[3]

Supóngase que   es un operador lineal continuo entre dos EVTs de Hausdorff. Si   es un subespacio vectorial denso de   y si la restricción   a   es un homomorfismo topológico, entonces   también es un homomorfismo topológico.[3]

Entonces, si   y   son completaciones de Hausdorff de   e  , respectivamente, y si   es un homomorfismo topológico, entonces la extensión lineal continua única de  ,  , es un homomorfismo topológico (aunque es posible que   sea sobreyectivo pero que   a no sea inyectivo).

Teorema de la aplicación abierta

editar

El teorema de la aplicación abierta, también conocido como teorema de homomorfismo de Banach, proporciona una condición suficiente para que un operador lineal continuo entre EVTs metrizables completos sea un homomorfismo topológico.

Teorema[4]

Sea   un mapa lineal continuo entre dos EVTs metrizables completos. Si  , que es el rango de  , es un subconjunto denso de  , entonces   es exiguo (es decir, de primera categoría) en   o   es un homomorfismo topológico sobreyectivo. En particular,   es un homomorfismo topológico si y solo si   es un subconjunto cerrado de  .

Corolario[4]

Sean   y   topologías de EVTs en un espacio vectorial  , de modo que cada topología convierta a   en un EVTs metrizables completos. Si   o   entonces  .

Corolario[4]

Si   es un EVT metrizable completo,   y   son dos subespacios vectoriales cerrados de  , y si   es la suma directa algebraica de   y   (es decir, la suma directa en la categoría de espacios vectoriales), entonces   es la suma directa de   y   en la categoría de espacios vectoriales topológicos.

Ejemplos

editar

Cada operador lineal continuo en un EVT es un homomorfismo topológico.[1]

Sea   un EVT de dimensión   sobre el cuerpo   y sea   distinto de cero. Ahora, considérese que   se defina por  . Si   tiene su topología euclídea habitual y si   es de Hausdorff, entonces   es un isomorfismo de EVT.

Véase también

editar

Referencias

editar
  1. a b c d e f g h Schaefer y Wolff, 1999, pp. 74–78.
  2. Köthe, 1969, p. 91.
  3. a b Schaefer y Wolff, 1999, p. 116.
  4. a b c Schaefer y Wolff, 1999, p. 78.

Bibliografía

editar