Homología simplicial

En topología algebraica, la homología simplicial formaliza la idea del número de orificios de una dimensión dada en un complejo simplicial. Esto generaliza la idea del número de componentes conexas (caso de dimensión 0). La homología simplicial surge como una manera de estudiar los espacios topológicos cuyos componentes estructurales son n-símplices, los análogos n-dimensionales de los triángulos, que entre otros elementos incluyen el punto (símplex de dimensión 0), la línea (símplex de dimensión 1), el triángulo (símplex de dimensión 2) y el tetraedro (símplex de dimensión 3). Por definición, un espacio es homeomórfico a un complejo simplicial (más precisamente la realización geométrica de un complejo simplicial abstracto) tal como un homeomorfismo está referido a una triangulación del espacio dado. Muchos espacios topológicos de interés pueden ser triangulados, incluyendo cada variedad suave (según Cairns y Whitehead).[1]: sec.5.3.2 

Se toman el contorno del contorno de un 2-símplex (izquierda); y el contorno de una 1-cadena (derecha). Ambos son 0, siendo sumas en las que tanto el positivo como el negativo de un 0-símplex se producen una vez. El contorno de un contorno es siempre 0. Un ciclo no trivial es algo que se cierra como el contorno de un símplex, en el sentido de que su contorno suma 0, pero que en realidad no es el contorno de un símplex o de una cadena. Debido a que los 1-ciclos triviales son equivalentes a 0 en , el 1-ciclo del centro a la derecha es homólogo a su suma con el contorno del 2-simplex de la izquierda

La homología simplicial está definida por un simple método para todo complejo simplicial abstracto. Es un hecho notable que la homología simplicial solo depende del espacio topológico asociado. Como resultado, brinda una forma computable de distinguir un espacio de otro.[2]: sec.8.6 

La homología singular es una teoría relacionada, comúnmente más usada por los matemáticos hoy en día. Está definida para todos los espacios topológicos, y concuerda con la homología simplicial para espacios que pueden ser triangulados. No obstante, ya que es posible computar la homología de un complejo simplicial automáticamente y eficientemente, la homología simplicial se ha vuelto importante para aplicaciones en tiempo real, como análisis de imágenes, imagen médica y análisis de datos en general.

Definiciones

editar

Un concepto clave en la definición de homología simplicial es la noción de orientación de un símplex. Por definición, la orientación de un k-símplex está dada por el ordenamiento de sus vértices, escrito como (v0,...,vk), con la regla de que dos ordenaciones definen la misma orientación si y sólo si no difieren en su paridad. De esta forma, cada símplex tiene exactamente dos orientaciones, e intercambiando el orden de dos vértices se cambia a la orientación opuesta.

Cadenas

editar

Sea S un complejo simplicial. Una k-cadena simplicial es la combinación lineal:

, 

donde cada ci es un entero y σi es un k-símplex orientado. En esta definición se declara que cada símplex orientado es igual al negativo del símplex con la orientación opuesta. Por ejemplo:

 

El grupo de k-cadenas en S se escribe como Ck. Es un grupo abeliano libre, que tiene una base en una correspondencia de uno a uno con el conjunto de k-símplices en S. Para definir una base explícitamente, hay que escoger una orientación para cada símplex. Una forma estándar para hacer esto es escoger un ordenamiento de todos los vértices y dar a cada símplex la orientación correspondiente al ordenamiento inducido de sus vértices.

Contornos y ciclos

editar

Sea σ = (v0,...,vk) un k-símplex orientado, visto como un elemento base de Ck. El operador de contorno

 

es el homomorfismo definido por:

 

donde el símplex orientado

 

es la i-ésima cara de σ, obtenida de eliminar su i-ésimo vértice.

En Ck, los elementos del subgrupo:

 

son llamados ciclos, y el subgrupo:

 

se dice que consiste en contornos.

Contornos de contornos

editar

Debido a que  , donde   es la segunda cara eliminada,  . En términos geométricos, esto implica que el contorno de cualquier elemento no tiene contorno. De manera equivalente, los grupos abelianos

 

forman un complejo de cadenas. Otra afirmación equivalente es que Bk está contenido en Zk.

Como ejemplo, considérese un tetraedro con vértices orientados como w,x,y,z. Por definición, su contorno viene dado por: xyz - wyz + wxz - wxy. El contorno del contorno viene dado por: (yz-xz+xy)-(yz-wz+wy)+(xz-wz+wx)-(xy-wy+wx)= 0.

 
Un complejo simplicial con dos 1-orificios

Grupos de homología

editar

El k-ésimo grupo de homología Hk de S está definido como el grupo cociente:

 

Esto indica que el grupo de homología Hk(S) es distinto de cero exactamente cuando hay k-ciclos en S que no son contornos. En cierto sentido, significa que hay orificios k-dimensionales en el complejo. Por ejemplo, considérese el complejo S obtenido por la unión de dos triángulos (sin interior) por una de sus aristas. Las aristas de cada triángulo pueden estar orientadas de modo que formen un ciclo. Estos dos ciclos, por construcción, no son contornos (dado que cada 2-cadena es cero). Se puede computar que el grupo de homología H1(S) es isomorfo a Z2, con una base dada por los dos ciclos mencionados. Esto especifica la idea informal de que S tiene dos orificios de dimensión 1.

Los orificios pueden ser de dimensiones diferentes. El rango del k-ésimo grupo de homología, el número:

 

se denomina el k-ésimo número de Betti de S. Esto da una medida del número de orificios k-dimensionales en S.

Ejemplo

editar

Grupos de homología de un triángulo

editar

Sea S el triángulo (no recubierto), visto como un complejo simplicial. De esta forma S tiene tres vértices, que se pueden denominar v0, v1, v2, y tres símplices de dimensión 1. Al computar los grupos de homología de S, se comienza describiendo los grupos de cadenas Ck. Es decir, C0 es isomorfo a Z3 con bases (v0), (v1), (v2), y C1 es isomorfo a Z3 con bases dadas por los símplices de dimensión 1 orientados (v0, v1), (v0, v2) y (v1, v2). Los grupos de cadenas en otras dimensiones son cero.

El homomorfismo contorno ∂: C1C0 está dado por:

 
 
 

Dado que C−1= 0, cada 0-cadena es un ciclo (es decir, Z0= C0). Además, el grupo B0 de los 0-contornos es generado por los tres elementos a la derecha de estas ecuaciones, creando un subgrupo bidimensional de C0. Entonces, el grupo de homología 0 H0(S)= Z0/B0 es isomorfo a Z, con una base dada (por ejemplo) por la imagen del 0-ciclo (v0). De hecho, los tres vértices se vuelven iguales en el grupo cociente, lo que expresa el hecho de que S es conexo.

A continuación, el grupo de 1-ciclos es el núcleo del homomorfismo ∂ anterior, que es isomorfo a Z, con una base dada (por ejemplo) por (v0,v1) − (v0,v2) + (v1,v2) (una imagen revela que este 1-ciclo rodea el triángulo en una de las dos direcciones posibles). Dado que C2= 0, el grupo de 1-contornos es nulo, por lo que el primer grupo de homología H1(S) es isomorfo a Z/0 ≅ Z. Esto precisa la idea de que el triángulo tiene un orificio unidimensional.

Por otro lado, dado que por definición no hay 2-ciclos, C2= 0 (es el grupo trivial). Por lo tanto, el segundo grupo de homología H2(S) es cero. Lo mismo ocurre con Hi(S) para todos los i que no son iguales a 0 o 1. Por lo tanto, la conectividad homológica del triángulo es 0 (es el k más grande para el cual los grupos de homología reducidos hasta k son triviales).

Grupos de homología de símplices de dimensiones superiores

editar

Sea S un tetraedro (sin su interior), visto como un complejo simplicial. Por lo tanto, S tiene cuatro vértices de dimensión 0, seis aristas de dimensión 1 y cuatro caras de dimensión 2.[3]​ Resulta que H0(S) es isomorfo a Z, H2(S) también es isomorfo a Z y todos los demás grupos son triviales. Por lo tanto, la conectividad homológica del tetraedro es 0.

Si el tetraedro contiene su interior, entonces H2(S) también es trivial.

En general, si S es un simplex d-dimensional, se cumple lo siguiente:

  • Si se considera S sin su interior, entonces H0(S)= Z y Hd−1(S)= Z y todas las demás homologías son triviales;
  • Si se considera S con su interior, entonces H0(S)= Z y todas las demás homologías son triviales.

Aplicaciones simpliciales

editar

Sean S y T complejos simpliciales. Una aplicación simplicial f de S a T es una función del conjunto de vértices de S al conjunto de vértices de T tal que la imagen de cada símplice en S (visto como un conjunto de vértices) es un símplice en T. Una aplicación simplicial f: ST determina un homeomorfismo de grupos de homología Hk(S) → Hk(T) para cada entero k. Este es el homeomorfismo asociado a una aplicación de cadenas del complejo de cadenas de S al complejo de cadenas de T. Explícitamente, esta aplicación de cadenas está dada en k-cadenas por:

 

si f(v0), ..., f(vk) son todos distintos, y por otra parte f((v0, ..., vk)) = 0.

Esta construcción hace a la homología simplicial un functor de un complejo simplicial a grupos abelianos. Esto es esencial para aplicaciones en la teoría, incluyendo el teorema del Punto Fijo de Brouwer y la invariante topológica de la homología simplicial.

Homologías relacionadas

editar

La homología singular es una teoría relacionada que se adapta mejor a la teoría que a la computación. Se define para todos los espacios topológicos y depende únicamente de la topología, no de la triangulación; y concuerda con la homología simple para espacios que pueden triangularse.[4]: thm.2.27  No obstante, debido a que es posible calcular la homología simplicial de un complejo simplicial de forma automática y eficiente, la homología simplicial se ha vuelto importante para su aplicación a situaciones de la vida real, como el análisis de imágenes, la imagen médica y el análisis de datos en general.

Otra teoría relacionada es la homología celular.

Aplicaciones

editar

Un escenario estándar en muchas aplicaciones de computadoras es una colección de puntos (medidas, pixeles oscuros en un mapa de bits,...) en el que es deseable encontrar un rasgo topológico. La homología puede servir como una herramienta cualitativa para buscar tales rasgos, ya que es realmente computable desde datos combinatorios como un complejo simplicial. Sin embargo, los puntos en los datos tienen primero que ser triangulados, lo que significa reemplazar los datos con una aproximación de un complejo simplicial. Computar la persistencia homológica[5]​ involucra el análisis de homología de diferentes resoluciones, registrando clases de homología (orificios) que persisten si la resolución cambia. Tales características pueden ser usadas para detectar la estructura de moléculas, tumores en rayos X, y estructuras de clúster en datos complejos. De forma general, la homología simplicial juega un rol central en el análisis de datos topológicos, una técnica en el campo de la minería de datos.

Desarrollos

editar

Véase también

editar
  1. Prasolov, V. V. (2006), Elements of combinatorial and differential topology, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3809-1, MR 2233951 .
  2. Armstrong, M. A. (1983), Basic topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90839-0, MR 0705632 .
  3. Wildberger, Norman J. (2012). «More homology computations». Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2021.  Aquí se describe en detalle la construcción de los grupos de homología de un tetraedro.
  4. Hatcher, Allen (2002), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354 .
  5. Edelsbrunner, H.; Letscher, D.; Zomorodian, A. (2002). «Topological Persistence and Simplification». Discrete & Computational Geometry 28: 511-533. doi:10.1007/s00454-002-2885-2. 
    Robins, V. (Summer 1999). «Towards computing homology from finite approximations». Topology Proceedings 24: 503-532. 

Referencias

editar
  • Armstrong, M. Un. (1983), topología Básica, Salmer-Verlag, ISBN 0-387-90839-0, SEÑOR 0705632 
  • Hatcher, Allen (2002), topología Algebraica, Cambridge Prensa Universitaria, ISBN 0-521-79540-0, SEÑOR 1867354[1] 
  • Prasolov, V. V. (2006), Elementos de combinatorial y topología diferencial, Sociedad Matemática americana, ISBN 0-8218-3809-1, SEÑOR 2233951 

Enlaces externos

editar