Grupo ortonormal generalizado

En matemáticas, el grupo ortogonal generalizado, es el grupo de Lie de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial n-dimensional real que deja invariante una forma bilineal simétrica y no-degenerada, de signatura , donde n = p + q. También se le llama grupo pseudo-ortogonal[1]​ o grupo ortogonal indefinido.[2]​ La dimensión del grupo es . El nombre responde a que generaliza al grupo ortogonal que es un caso particular.

El grupo ortogonal especial generalizado o indefinido, es el subgrupo de formado por todos los elementos con determinante igual a la unidad. A diferencia del caso definido, no es conexo, teniendo dos componentes. Además tiene subgrupos de índice finito adicionales, a saber, el y , que tiene 2 componentes – ver sección de Topología para definiciones y una discusión de estos hechos.

La signatura de la forma determina el grupo, salvo isomorfismos, intercambiando el papel de y , lo cual equivale a reemplaza la métrica por su forma negativa, conlleva el mismo grupo. Si uno de los dos índices o es cero, entonces el grupo resultante es el grupo ortogonal ordinario . Para estudiar el caso eneral, asumimos en lo que sigue que tanto y . El grupo se define para espacios vectoriales sobre los reales. Para espacios vectoriales complejos, todos los grupos son isomorfos al habitual grupo ortogonal , ya que la transformación cambia la signatura de la forma. Esto no debe confundirse con el grupo unitario indefinido que conserva una forma sesquilineal de signatura .

En dimensión para , el grupo se denomina el grupo ortogonal escindido.

Referencias

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  1. Popov, 2001
  2. Hall, 2015, Sección 1.2

Bibliografía

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