Grupo ortonormal generalizado
En matemáticas, el grupo ortogonal generalizado, es el grupo de Lie de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial n-dimensional real que deja invariante una forma bilineal simétrica y no-degenerada, de signatura , donde n = p + q. También se le llama grupo pseudo-ortogonal[1] o grupo ortogonal indefinido.[2] La dimensión del grupo es . El nombre responde a que generaliza al grupo ortogonal que es un caso particular.
El grupo ortogonal especial generalizado o indefinido, es el subgrupo de formado por todos los elementos con determinante igual a la unidad. A diferencia del caso definido, no es conexo, teniendo dos componentes. Además tiene subgrupos de índice finito adicionales, a saber, el y , que tiene 2 componentes – ver sección de Topología para definiciones y una discusión de estos hechos.
La signatura de la forma determina el grupo, salvo isomorfismos, intercambiando el papel de y , lo cual equivale a reemplaza la métrica por su forma negativa, conlleva el mismo grupo. Si uno de los dos índices o es cero, entonces el grupo resultante es el grupo ortogonal ordinario . Para estudiar el caso eneral, asumimos en lo que sigue que tanto y . El grupo se define para espacios vectoriales sobre los reales. Para espacios vectoriales complejos, todos los grupos son isomorfos al habitual grupo ortogonal , ya que la transformación cambia la signatura de la forma. Esto no debe confundirse con el grupo unitario indefinido que conserva una forma sesquilineal de signatura .
En dimensión para , el grupo se denomina el grupo ortogonal escindido.
Referencias
editar- ↑ Popov, 2001
- ↑ Hall, 2015, Sección 1.2
Bibliografía
editar- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 (2nd edición), Springer, ISBN 978-3319134666.
- Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Birkhäuser, Boston, 2002. ISBN 0-8176-4259-5 – see page 372 for a description of the indefinite orthogonal group
- Popov, V. L. (2001), «Grupo ortonormal generalizado», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
- Shirokov, D. S. (2012). Lectures on Clifford algebras and spinors (en ruso). Zbl 1291.15063. doi:10.4213/book1373. Parámetro desconocido
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ignorado (ayuda) - Joseph A. Wolf, Spaces of constant curvature, (1967) page. 335.