Función G de Barnes

En matemática, la función G de Barnes G(z) es una función que extiende los superfactoriales a los números complejos. Está relacionada con la función gamma, la función K y la constante de Glaisher–Kinkelin, y fue llamada así en honor al matemático Ernest William Barnes.[1]​ Puede ser escrita en términos de la función gamma doble.

La función G de Barnes representada a lo largo de la recta real.

Formalmente, la función G de Barnes se define mediante el siguiente producto de Weierstrass:

donde es la constante de Euler–Mascheroni, exp(x) = ex es la función exponencial, y Π denota multiplicación (productorio).

Como función entera, G es de orden dos, y de tipo infinito. Esto se puede deducir de la expansión asintótica dada a continuación.

Ecuación funcional y argumentos enteros

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La función G de Barnes satisface la ecuación funcional

 

con normalización G(1) = 1. Nótese la similidaridad entre la ecuación funcional de la función G de Barnes y la función Gamma de Euler:

 

La ecuación funcional implica que G toma los siguientes valores en argumentos enteros:

 

(en particular,  ) y de este modo

 

donde   denota la función gamma y K denota la función K. La ecuación funcional define únicamente la función G si la condición de convexidad,

 

es añadida.[2]​ Adicionalmente, la función G de Barnes satisface la fórmula de duplicación,[3]

 

Valor en 1/2

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Referencias

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  1. E. W. Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264–314.
  2. M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL , Astérisque 61, 235-249 (1979).
  3. Park, Junesang (1996). «A duplication formula for the double gamma function $Gamma_2$». Bulletin of the Korean Mathematical Society 33 (2): 289-294. 

Enlaces externos

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  • Adamchik, Viktor S. (2003). «Contributions to the Theory of the Barnes function». arXiv:math/0308086.