La fracción continua de Ramanujan es
1
+
q
1
+
q
2
1
+
q
3
1
+
⋯
=
G
(
q
)
H
(
q
)
=
1
+
q
−
q
3
+
q
5
−
⋯
{\displaystyle 1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}={\frac {G(q)}{H(q)}}=1+q-q^{3}+q^{5}-\cdots }
A003823 en OEIS )
donde:
G
(
q
)
=
∑
n
=
0
∞
q
n
2
(
q
;
q
)
n
=
1
(
q
;
q
5
)
∞
(
q
4
;
q
5
)
∞
=
1
+
q
+
q
2
+
q
3
+
2
q
4
+
2
q
5
+
3
q
6
+
⋯
{\displaystyle G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots }
A003114 en OEIS )y
H
(
q
)
=
∑
n
=
0
∞
q
n
2
+
n
(
q
;
q
)
n
=
1
(
q
2
;
q
5
)
∞
(
q
3
;
q
5
)
∞
=
1
+
q
2
+
q
3
+
q
4
+
q
5
+
2
q
6
+
⋯
.
{\displaystyle H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots .}
A003106 en OEIS )son funciones que aparecen en las identidades de Rogers-Ramanujan .
Aquí,
(
a
;
q
)
∞
{\displaystyle (a;q)_{\infty }}
símbolo q-Pochhammer para el caso infinito.
Si q = e2πiτ , entonces q −1/60 G (q ) y q 11/60 H (q ) y también q 1/5 H (q )/G (q )) son formas modulares de τ. Puesto que éstas tienen coeficientes enteros, la teoría de la multiplicación compleja implica que sus valores para τ siendo un número imaginario cuadrático irracional son números algebraicos que pueden ser evaluados explícitamente. En particular, la fracción continua de Ramanujan se pueden evaluar para estos valores de τ.
1
1
+
e
−
2
π
1
+
e
−
4
π
1
+
…
=
(
5
+
5
2
−
5
+
1
2
)
e
2
π
/
5
=
e
2
π
/
5
(
φ
5
−
φ
)
=
0.9981360
…
{\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+\dots }}}}}}=\left({{\sqrt {5+{\sqrt {5}} \over 2}}-{{\sqrt {5}}+1 \over 2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi }\right)=0.9981360\dots }
donde
φ
{\displaystyle \varphi }
número áureo (Aproximadamente 1.618)
El inverso multiplicativo de esta expresión es:
1
+
e
−
2
π
1
+
e
−
4
π
1
+
e
−
6
π
1
+
…
=
1
2
[
1
+
5
+
2
(
5
+
5
)
]
e
−
2
π
/
5
=
e
−
2
π
/
5
φ
5
−
φ
=
1.0018674
…
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\dots }}}}}}={\frac {1}{2}}\left[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,e^{-2\pi /5}\\\\&={\frac {e^{-2\pi /5}}{{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi }}=1.0018674\dots \end{aligned}}}
1
1
+
e
−
2
π
5
1
+
e
−
4
π
5
1
+
…
=
(
5
1
+
[
5
3
/
4
(
φ
−
1
)
5
/
2
−
1
]
1
/
5
−
φ
)
e
2
π
/
5
=
0.99999920
…
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\dots }}}}}}\\\\&=\left({\frac {\sqrt {5}}{1+[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1]^{1/5}}}-{\varphi }\right)\,e^{2\pi /{\sqrt {5}}}=0.99999920\dots \end{aligned}}}
El inverso multiplicativo de esta expresión es:
1
+
e
−
2
π
5
1
+
e
−
4
π
5
1
+
…
=
e
−
2
π
/
5
5
1
+
[
5
3
/
4
(
φ
−
1
)
5
/
2
−
1
]
1
/
5
−
φ
=
1.000000791267
…
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\dots }}}}\\\\&={\cfrac {e^{-2\pi /{\sqrt {5}}}}{{}\ \ {\cfrac {\sqrt {5}}{1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}}-\varphi \ \ {}}}=1.000000791267\dots \end{aligned}}}
Rogers, L. J. (1894), «Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products», Proc. London Math. Soc. , s1-25: 318-343, doi :10.1112/plms/s1-25.1.318 Bruce C. Berndt , Heng Huat Chan,, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son, The Rogers-Ramanujan Continued Fraction 105 (1999), pp. 9–24. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\dots }}}}}}={\frac {1}{2}}\left[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,e^{-2\pi /5}\\\\&={\frac {e^{-2\pi /5}}{{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi }}=1.0018674\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77dd5fc1d7ae5b72ea2e366ffad95e121c70b70c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\dots }}}}}}\\\\&=\left({\frac {\sqrt {5}}{1+[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1]^{1/5}}}-{\varphi }\right)\,e^{2\pi /{\sqrt {5}}}=0.99999920\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be9c95f9eb356ac03622a09bd774754611f5e015)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\dots }}}}\\\\&={\cfrac {e^{-2\pi /{\sqrt {5}}}}{{}\ \ {\cfrac {\sqrt {5}}{1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}}-\varphi \ \ {}}}=1.000000791267\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f22ec6eceb47c03c1602d74f9d9c51834defe5)
Datos: Q7359378