Forma multilineal

En matemáticas, dado un anillo conmutativo, una función multilineal es una función de $n$ argumentos de $n$ espacios vectoriales respectivos. Dicha función se caracteriza por respetar la suma de vectores y la multiplicación escalar en cualquiera de las coordenadas.

Definición

Sea $R$ un anillo conmutativo (por ejemplo $R=$ $\mathbb {R} \!$ o $R=$ $\mathbb {C} \!$ ) y $V_{1},\ldots V_{n},W$ espacios vectoriales sobre $R$.

Una función $V_{1}\times V_{2}\times \cdots \times V_{n}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}W$ se dice multilineal si es lineal en cada argumento, es decir, para todo $1\leq i\leq n$ y para todo $r\in R$, se cumple $f(x_{1},\ldots ,x_{i}+x_{i}',\ldots ,x_{n})=f(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})+f(x_{1},\ldots ,x_{i}',\ldots ,x_{n})$, y, $f(x_{1},\ldots ,r\cdot x_{i},\ldots ,x_{n})=r\cdot f(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})$.

Se puede demostrar que la colección de todas las funciones multilineales de $V_{1},\ldots V_{n}$ en $W$ es un $R$-espacio vectorial respecto a las operaciones usuales de suma y multiplicación escalar de funciones. Dicho espacio se denota por ${\mathcal {M}}(V_{1},\ldots ,V_{n};W)$. Si $V_{1}=\cdots =V_{n}=V$ y $W=R$, el espacio se denota por ${\mathcal {M}}_{n}(V;R)$.

Funciones multilineales especiales

Sea $V$ un $R$-espacio vectorial y $f\in {\mathcal {M}}_{n}(V;R)$, es decir, $\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\mbox{-veces}}}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R$. En álgebra abstracta a una función como $f$ se le llama tensor y el conjunto de tensores de $n$ argumentos sobre el espacio vectorial $V$ se denota por ${\mathcal {T}}_{n}(V)$. En otras palabras, ${\mathcal {T}}_{n}(V)={\mathcal {M}}_{n}(V;R)$.

Se puede demostrar que:

${\mathcal {T}}_{n}(V):={\mathcal {M}}_{n}(V;R)\cong (\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\mbox{-veces}}})^{*}\cong \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{n{\mbox{-veces}}}$

donde $V^{*}$ denota el espacio dual, y $\otimes$ denota el producto tensorial.

Tensor simétrico

Un tensor $f\in {\mathcal {T}}_{n}(V)$ se dice simétrico si para cada permutación $\pi$ del grupo simétrico $S_{n}$ y cualquier elemento $(v_{1},\ldots ,v_{n})\in V\times \cdots \times V$ se cumple $f(\pi (v_{1}),\ldots ,\pi (v_{n}))=f(v_{1},\ldots ,v_{n})$. El $R$-espacio vectorial de todos los tensores simétricos se denota por ${\mathcal {S}}_{n}(V)$ y obviamente, ${\mathcal {S}}_{n}(V)\subset {\mathcal {T}}_{n}(V)$.

Tensor antisimétrico

Un tensor $f\in {\mathcal {T}}_{n}(V)$ se dice antisimétrico si para cada permutación $\pi$ del grupo simétrico $S_{n}$ y cualquier elemento $(v_{1},\ldots ,v_{n})\in V\times \cdots \times V$ se cumple $f(\pi (v_{1}),\ldots ,\pi (v_{n}))=(-1)^{\pi }f(v_{1},\ldots ,v_{n})$, donde $(-1)^{\pi }$ denota el signo de la permutación. El $R$-espacio vectorial de todos los tensores antisimétricos se denota por ${\mathcal {A}}_{n}(V)$ y obviamente, ${\mathcal {A}}_{n}(V)\subset {\mathcal {T}}_{n}(V)$.

Tensor alternado

Un tensor $f\in {\mathcal {T}}_{n}(V)$ se dice alternado si dado $(v_{1},\ldots ,v_{n})\in V\times \cdots \times V$ con la particularidad de que $v_{i}=v_{j}$ para algún par de índices $i\neq j$, se tiene que $f(v_{1},\ldots ,v_{n})=0$. El $R$-espacio vectorial de todos los tensores alternados se denota por ${{\mathcal {A}}L}_{n}(V)$ y ${{\mathcal {A}}L}_{n}(V)\subset {\mathcal {A}}_{n}(V)\subset {\mathcal {T}}_{n}(V)$, es decir, todo tensor alternado es antisimétrico. Además, cuando en el anillo conmutativo $R$ el $2$ es invertible, entonces se tiene la igualdad ${{\mathcal {A}}L}_{n}(V)={\mathcal {A}}_{n}(V)$, es decir, los tensores alternados son exactamente los antisimétricos.

Bibliografía

Lezama, O., Cuadernos de Álgebra, No. 4: Álgebra Lineal, SAC²: Seminario de Álgebra Constructiva, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá. https://web.archive.org/web/20130603160516/http://www.matematicas.unal.edu.co/sac2/

• Datos: Q1930346