Sea el polinomio
P
(
z
)
=
a
0
+
a
1
z
+
a
2
z
2
+
a
3
z
3
+
.
.
.
+
a
k
z
k
{\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+...+a_{k}z^{k}\,}
C
z
1
,
z
2
,
z
3
,
.
.
.
,
z
k
{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},...,z_{k}\,}
C [ 1] k distintas igualdades :
z
1
∗
z
2
∗
z
3
∗
.
.
.
∗
z
k
=
(
−
1
)
k
∗
a
0
a
k
{\displaystyle z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k}=(-1)^{k}*{a_{0} \over a_{k}}}
z
1
∗
z
2
∗
z
3
∗
.
.
.
∗
z
k
−
1
+
.
.
.
+
z
2
∗
z
3
∗
.
.
.
z
k
=
(
−
1
)
k
−
1
∗
a
1
a
k
{\displaystyle z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k-1}+...+z_{2}*z_{3}*...z_{k}=(-1)^{k-1}*{a_{1} \over a_{k}}}
z
1
∗
z
2
∗
z
3
∗
.
.
.
∗
z
j
+
.
.
.
+
z
k
−
j
+
1
∗
z
k
−
j
+
2
∗
.
.
.
z
k
=
(
−
1
)
j
∗
a
k
−
j
a
k
{\displaystyle z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{j}+...+z_{k-j+1}*z_{k-j+2}*...z_{k}=(-1)^{j}*{a_{k-j} \over a_{k}}}
z
1
∗
z
2
+
z
1
∗
z
3
+
.
.
.
+
z
k
−
1
∗
z
k
=
(
−
1
)
2
∗
a
k
−
2
a
k
=
a
k
−
2
a
k
{\displaystyle z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}+...+z_{k-1}*z_{k}=(-1)^{2}*{a_{k-2} \over a_{k}}={a_{k-2} \over a_{k}}}
z
1
+
z
2
+
z
3
+
.
.
.
+
z
k
=
(
−
1
)
1
∗
a
k
−
1
a
k
=
−
a
k
−
1
a
k
{\displaystyle z_{1}+z_{2}+z_{3}+...+z_{k}={(-1)^{1}*a_{k-1} \over a_{k}}=-{a_{k-1} \over a_{k}}}
Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará el cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.
Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces. Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces (a menos de una constante multiplicativa).
Factorizamos el polinomio:
P
(
z
)
=
a
0
+
a
1
z
+
a
2
z
2
+
a
3
z
3
+
.
.
.
+
a
k
z
k
=
a
k
(
z
−
z
1
)
(
z
−
z
2
)
(
z
−
z
3
)
⋯
(
z
−
z
k
)
{\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+...+a_{k}z^{k}=a_{k}(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})\cdots (z-z_{k})\,}
Y realizamos el producto del miembro de la derecha y comparamos los coeficientes de cada término
z
j
{\displaystyle z^{j}}
0
≤
j
<
k
{\displaystyle 0\leq j<k}
a
k
−
1
=
(
−
1
)
1
∗
a
k
∗
(
z
1
+
z
2
+
z
3
+
.
.
.
+
z
k
)
{\displaystyle a_{k-1}=(-1)^{1}*a_{k}*(z_{1}+z_{2}+z_{3}+...+z_{k})}
a
k
−
2
=
(
−
1
)
2
∗
a
k
∗
(
z
1
∗
z
2
+
z
1
∗
z
3
+
.
.
.
+
z
k
−
1
∗
z
k
)
{\displaystyle a_{k-2}=(-1)^{2}*a_{k}*(z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}+...+z_{k-1}*z_{k})}
…
{\displaystyle \ldots }
a
j
=
(
−
1
)
k
−
j
∗
a
k
∗
(
z
1
∗
z
2
∗
z
3
∗
.
.
.
∗
z
j
+
.
.
.
+
z
k
−
j
+
1
∗
z
k
−
j
+
2
∗
.
.
.
z
k
)
{\displaystyle a_{j}=(-1)^{k-j}*a_{k}*(z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{j}+...+z_{k-j+1}*z_{k-j+2}*...z_{k})}
…
{\displaystyle \ldots }
a
1
=
(
−
1
)
k
−
1
∗
a
k
∗
(
z
1
∗
z
2
∗
z
3
∗
.
.
.
∗
z
k
−
1
+
.
.
.
+
z
2
∗
z
3
∗
.
.
.
z
k
)
{\displaystyle a_{1}=(-1)^{k-1}*a_{k}*(z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k-1}+...+z_{2}*z_{3}*...z_{k})}
a
0
=
(
−
1
)
k
∗
a
k
∗
(
z
1
∗
z
2
∗
z
3
∗
.
.
.
∗
z
k
)
{\displaystyle a_{0}=(-1)^{k}*a_{k}*(z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k})}
De aquí ya se obtienen de inmediato las fórmulas de Cardano-Vieta.
↑ Por ser ℂ algebraicamente cerrado y por el Teorema fundamental del álgebra
Datos: Q570779