Fórmula de monotonicidad de Huisken

En geometría diferencial, la fórmula monotonicidad de Huisken establece que, si una superficie dimensional en un espacio euclidiano dimensional sufre un flujo de curvatura promedio, entonces su convolución con una escala apropiada y con inversión del tiempo kernel de calor no es en aumento.[1][2]​ El resultado lleva el nombre de Gerhard Huisken, quien lo publicó en 1990.[3]

Específicamente, el núcleo de calor reversible en el tiempo dimensional que converge a un punto en el tiempo puede estar dado por la fórmula[1]

Luego, la fórmula de monotonicidad de Huisken da una expresión explícita para la derivada de

donde es el elemento de área de la superficie en evolución en el tiempo . La expresión implica la negación de otra integral, cuyo integrando es no negativo, por lo que la derivada es no positiva.

Normalmente, y se eligen como el tiempo y la posición de una singularidad de la superficie en evolución, y la fórmula de monotonicidad se puede utilizar para analizar el comportamiento de la superficie a medida que evoluciona hacia esta singularidad. En particular, las únicas superficies para las cuales la convolución con el núcleo de calor permanece constante en lugar de disminuir son las que se mantienen auto-similares a medida que evolucionan, y la fórmula de monotonicidad puede usarse para clasificar estas superficies.

Grigori Perelman obtuvo fórmulas análogas para el flujo de Ricci.[4][5]

Referencias

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  1. a b Mantegazza, Carlo (2011), «3.1 The Monotonicity Formula for Mean Curvature Flow», Lecture notes on mean curvature flow, Progress in Mathematics 290, Basel: Birkhäuser/Springer, pp. 49-52, ISBN 978-3-0348-0144-7, MR 2815949, doi:10.1007/978-3-0348-0145-4 ..
  2. Bellettini, Giovanni (2013), «4 Huisken's monotonicity formula», Lecture notes on mean curvature flow, barriers and singular perturbations, Appunti. Scuola Normale Superiore di Pisa (Nuova Serie) [Lecture Notes. Scuola Normale Superiore di Pisa (New Series)] 12, Pisa: Edizioni della Normale, pp. 59-68, ISBN 978-88-7642-428-1, MR 3155251, doi:10.1007/978-88-7642-429-8 ..
  3. Huisken, Gerhard (1990), «Asymptotic behavior for singularities of the mean curvature flow», Journal of Differential Geometry 31 (1): 285-299, MR 1030675 ..
  4. Perelman, Grigori (2002), The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, arXiv:math/0211159 ..
  5. Cao, Huai-Dong; Hamilton, Richard S.; Ilmanen, Tom (2004), Gaussian densities and stability for some Ricci solitons, arXiv:math/0404165, «There are also two monotonicity formulas of shrinking or localizing type ... Either of these can be seen as the analogue of Huisken’s monotonicity formula for mean curvature flow.» ..