Fórmula de d'Alembert

En física, en el estudio de las ondas y de su propagación, la ecuación o fómula de d'Alembert describe la variación en el tiempo y el espacio de una cantidad ondulada. Lleva el nombre de Jean le Rond d'Alembert, quien la enunció en 1747, como una solución al problema de la cuerda vibrante.[1]​ Esta es históricamente la primera ecuación de onda.

Enunciado

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La fórmula de D'Alembert es la solución general de la ecuación de onda, una ecuación en derivadas parciales hiperbólica, en un espacio de una dimensión.

 

para  .

Las características de esta ecuación son  , por lo que usamos el cambio de variables   para transformar la ecuación en  . La solución general a esta última es   donde   y   son funciones  . En términos de las coordenadas   originales,

 

donde   es   si   y   son  .

Esta solución   puede interpretarse como suma de dos ondas de velocidades   que se desplazan en direcciones opuestas a lo largo del eje x.

Considérese ahora el problema con las condiciones iniciales de Cauchy  .

Usando   se obtiene  .

Usando   se obtiene  .

Al integrar la última ecuación se obtiene:

 

Las soluciones del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones última y antepenúltima son

 

 

Ahora, usando

 

se obtiene la fórmula de d'Alembert:

 

  1. Jean le Rond d'Alembert (1747, publié en 1749). «Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration». Histoire de l'académie royale des sciences et des belles lettres, Vol.3, Berlin (en francés): 214-249. 

Bibliografía adicional

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  • Chester, C. (1971). Techniques in Partial Differential Equations (en inglés). McGraw-Hill. Capítulo 2. 

Enlaces externos

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