Evoluta

Se llama evoluta de una curva "C" dada, al lugar geométrico de los centros de curvatura de "C".

Una elipse (en azul) y su evoluta (verde). El círculo que se mueve es el círculo osculador a la elipse, cuyo centro es el centro de curvatura. También se puede observar que la recta tangente a la evoluta es normal a la elipse, es decir, la evoluta es la envolvente de las normales a la elipse. La evoluta de una elipse se llama astroide.

Ecuaciones

Sea la curva formada por el conjunto de puntos (x,y) donde x e y son funciones dependientes de una variable, normalmente llamada t para hacer referencia al tiempo. Entonces se puede escribir las coordenadas de la evoluta de la forma

$(X,Y)=\left({x-y'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}},\;y+x'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}}\right).$

donde a cada (x,y) - o lo que es lo mismo, a un valor de t que determina un punto de la curva - le corresponde un centro de curvatura (X,Y) en función de ese t. La relación entre ese punto y su centro de curvatura permite conocer el radio de curvatura (y por tanto su inversa, la curvatura):
$R=1/k={\frac {(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}{x'y''-x''y'}},$

Si y=f(x), es decir, una variable depende de la otra, se puede simplificar observando los resultados de tomar x=t e y=f(t). Los centros de curvatura serán entonces:
$\left.{\begin{matrix}x_{C}=&x-\displaystyle {\frac {y'(1+y'^{2})}{y''}}\\y_{C}=&y+\displaystyle {\frac {1+y'^{2}}{y''}}\end{matrix}}\right\}$ y el radio $R=1/k={\frac {(1+y'^{2})^{3/2}}{y''}}$

Eliminando x e y entre ellas se tiene la ecuación de la evoluta:

$F(x_{C},y_{C})=0$

Ejemplos de evolutas

Evoluta de la elipse con a=1 y b=2.

Evoluta de la elipse (astroide)

Dada la elipse:

$\left.{\begin{matrix}x=&a\ \cos \ t\\y=&b\ \mathrm {sen} \ t\end{matrix}}\right\}$

Su evoluta viene dada por:

$\left.{\begin{matrix}x=&\displaystyle {\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t\\y=&\displaystyle {\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\mathrm {sen} ^{3}t\end{matrix}}\right\}$ que, eliminando el parámetro, queda: $(ax)^{\frac {2}{3}}+(by)^{\frac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\frac {2}{3}}$

Galería de imágenes

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  La evoluta de una circunferencia es un punto.
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  La evoluta de una elipse es una astroide alargada.
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  La evoluta de una espiral logarítmica es otra espiral logarítmica con el mismo centro y ángulo.
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  La evoluta de una parábola es una parábola semicúbica.
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  La evoluta de $f(x)=x^{3}\,$
• 
  La evoluta de $f(x)=x^{4}\,$

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «evolute». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q658654